a. tìm a là số tự nhiên để 17a+8 là số chính phương

Giả sử \(17a+8=x^2\Rightarrow17a-17+25=x^2\Rightarrow17\left(a-1\right)=x^2-25\Rightarrow17\left(a-1\right)=\left(x-5\right)\left(x+5\right)\)

\(\Rightarrow\left(x-5\right);\left(x+5\right)⋮17\)

\(\Rightarrow x=17n\pm5\Rightarrow a=17n^2\pm10n+1\)

n la gi v a

\(x=\dfrac{n-13}{5}\)

a: Để x là số tự nhiên dương thì n-13=5k

=>\(n=5k+13\left(k\in N\right)\)

b: Để x là số nguyên âm thì n-13=5k; k<0

=>\(n=5k+13\left(k\in Z^-\right)\)

c: Để x=0 thì n-13=0

=>n=13

Vì n+19/n+6 là 1 số tự nhiên

=> n+19 chia hết cho n+6 và được kết quả là 1 số tự nhiên

Ta có: n+19 chia hết cho n+6

=> (n+6)+13 chia hết cho n+6

Vì n+6 chia hết cho n+6  => 13 chia hết cho n+6

=> n+6 thuộc Ư(13)={1;13;-1;-13}

Mà vì n là số tự nhiên => n+6=13

=> n=7

A= (n+19)/(n+6)

=> A= (n+6+13)/(n+6)

=> A=1 + 13//(n+6)

để A là số tự nhiên thì (n+6) thuộc ước 13, mà n là số tự nhiên

=> n+6 thuộc tập hợp 1,13

=> n thuộc tập hợp 7

Vậy......

Ta có: (n+19)/(n+6) = (n+6+13)/(n+6) = 1 + 13/(n+6) 

Để (n+19)/(n+6) là số tự nhiên thì 13/(n+6) là số tự nhiên ( vì 1 là số tự nhiên)

=> n+6 là ước của 13 và n+6 là số tự nhên ( vì n là số tự nhiên ) => n+6 =(1;13)

Xét n+6 = 1 => n= -5( loại)

Xét n+6 = 13 => n=7 (TM)

Vậy n=7

Do ab là số tự nhiên => Ta có:  TH1:a và b là hai số tự nhiên

                                                  TH2:a và b là hai số nguyên âm

Mặt khác a+b là số tự nhiên nên ta lại có: +Với TH1(như trên):a+b=số tự nhiên + số tự nhiên =số tự nhiên(hợp lí)

                                                                   +Với TH2(như trên):a+b=số nguyên âm + số nguyên âm=số tự nhiên(vô lí/loại)

Do a và b đều là số tự nhiên=> aⁿ+bⁿ là số tự nhiên

Vậy aⁿ+bⁿ là số tự nhiên

a: Với n=3 thì \(n^3+4n+3=3^3+4\cdot3+3=42⋮̸8\) nha bạn

b: Đặt \(A=n^3+3n^2-n-3\)

\(=\left(n^3+3n^2\right)-\left(n+3\right)\)

\(=n^2\left(n+3\right)-\left(n+3\right)\)

\(=\left(n+3\right)\left(n^2-1\right)\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)\)

n lẻ nên n=2k+1

=>\(A=\left(2k+1-1\right)\left(2k+1+1\right)\left(2k+1+3\right)\)

\(=2k\cdot\left(2k+2\right)\left(2k+4\right)\)

\(=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)\)

Vì k;k+1;k+2 là ba số nguyên liên tiếp

nên \(k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮3!=6\)

=>\(A=8k\left(k+1\right)\left(k+2\right)⋮6\cdot8=48\)

c: 

d: Đặt \(B=n^4-4n^3-4n^2+16n\)

\(=\left(n^4-4n^3\right)-\left(4n^2-16n\right)\)

\(=n^3\left(n-4\right)-4n\left(n-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\left(n^3-4n\right)\)

\(=n\left(n-4\right)\left(n^2-4\right)\)

\(=\left(n-4\right)\cdot\left(n-2\right)\cdot n\cdot\left(n+2\right)\)

n chẵn và n>=4 nên n=2k

B=n(n-4)(n-2)(n+2)

\(=2k\left(2k-2\right)\left(2k+2\right)\left(2k-4\right)\)

\(=2k\cdot2\left(k-1\right)\cdot2\left(k+1\right)\cdot2\left(k-2\right)\)

\(=16k\left(k-1\right)\left(k+1\right)\left(k-2\right)\)

Vì k-2;k-1;k;k+1 là bốn số nguyên liên tiếp

nên \(\left(k-2\right)\cdot\left(k-1\right)\cdot k\cdot\left(k+1\right)⋮4!=24\)

=>B chia hết cho \(16\cdot24=384\)