\(1,\)

\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)

Với \(n=k+1\)

\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)

Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)

Với \(n=k+1\)

\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)

Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(1,\)

\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)

Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)

\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)

Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)

\(2,\)

Ta thấy:\(1+2+...+2002=\left(2002+1\right)\left(2002-1+1\right):2=2003\cdot2002:2⋮11\left(2002⋮11\right)\)

Do đó \(1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002}⋮1+2+...+2002⋮11\)

a/(Sửa đề bài) A= 1/2 + 2/2² + 3/2³ + 4/2⁴ +..+ 100/2¹⁰⁰                                                                                                                                                  => 1/2A = 1/2² + 2/2³ + 3/2⁴ +..+ 100/2¹⁰¹                                                                                                                                                   => A - 1/2A = 1/2 + 2/2² +..+ 100/2¹⁰⁰ - 1/2² - 2/2³ -..- 100/2¹⁰¹                                                                                                                 => 1/2A = 1/2 + 1/2² + 1/2³ +..+ 1/2¹⁰⁰ - 100/2¹⁰¹                                                                                                                                       Gọi riêng cụm (1/2 + 1/2² +..+ 1/2¹⁰⁰) là B                                                                                                                                                   => 2B = 1 + 1/2 + 1/2² +..+ 1/2⁹⁹                                                                                                                                                                   => 2B-B = B = 1+ 1/2 +1/2² +..+ 1/2⁹⁹ - 1/2 - 1/2² -..- 1/2¹⁰⁰ = 1 - 1/2¹⁰⁰                                                                                            => 1/2A = 1 - 1/2¹⁰⁰ - 100/2¹⁰¹                                                                                                                                                                 Có 1/2A < 1 => A < 2 =>ĐPCM                                                                                                                          b/ => 1/3C = 1/3² + 2/3³ + 3/3⁴ +..+ 100/3¹⁰¹                                                                                                                                                => C - 1/3C = 2/3C = 1/3 + 2/3² +..+ 100/3¹⁰⁰ - 1/3² - 2/3³ -..- 100/3¹⁰¹ = 1/3 + 1/3² + 1/3³ +..+ 1/3¹⁰⁰ - 100/3¹⁰¹                              Gọi riêng cụm (1/3 + 1/3² +..+ 1/3¹⁰⁰) là D                                                                                                                                               => 3D = 1 + 1/3 +..+ 1/3⁹⁹                                                                                                                                                                         => 3D - D = 2D = 1 + 1/3 +..+1/3⁹⁹ - 1/3 -1/3² -..- 1/3¹⁰⁰ = 1 - 1/3¹⁰⁰                                                                                                       => 2/3C *2 = 4/3C = 1 - 1/3¹⁰⁰ - 200/3¹⁰¹                                                                                                                                                 Có 4/3C < 1 => C<3/4 => ĐPCM              Tạm thời thế đã, giải tiếp đc con nào mình sẽ gửi sau :)          

a) n(n + 5) - (n - 3)(n + 2) = n² + 5n - n² - 2n + 3n + 6 = 6n + 6 = 6(n + 1) \(⋮\)6 \(\forall\)x \(\in\)Z

b) (n² + 3n - 1)(n + 2) - n³  + 2 = n³ + 2n² + 3n² + 6n - n - 2 - n³ + 2 = 5n² + 5n = 5n(n + 1) \(⋮\)5 \(\forall\)x \(\in\)Z

c) (6n + 1)(n + 5) - (3n + 5)(2n - 1) = 6n² + 30n + n + 5 - 6n² + 3n - 10n + 5 = 24n + 10 = 2(12n + 5) \(⋮\)2 \(\forall\)x \(\in\)Z

d) (2n - 1)(2n + 1) - (4n - 3)(n - 2) - 4 = 4n² - 1 - 4n² + 8n + 3n - 6 - 4 = 11n - 11 = 11(n - 1) \(⋮\)11 \(\forall\)x \(\in\)Z

1.

\(a,=x^4-3x^3+5x^3-15x^2-x^2+3x-5x+15\\ =\left(x-3\right)\left(x^3+5x^2-x-5\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x^2-1\right)\\ =\left(x-3\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x+5\right)\\ b,=2x^4-2x^3+x^3-x^2-8x^2+8x+5x-5\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+x^2-8x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x^3+5x^2-4x^2-10x+2x+5\right)\\ =\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x^2-2x+1\right)\\ =\left(x-1\right)^3\left(2x+5\right)\)

2.

\(a,=n^3\left(n+2\right)-n\left(n+2\right)=n\left(n^2-1\right)\left(n+2\right)\\ =\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

Đây là tích 4 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho \(1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)

Suy ra đpcm

Bổ sung điều kiện câu b: n chẵn và n>4

\(b,=n\left(n^3-4n^2-4n+16\right)=n\left[n^2\left(n-4\right)-4\left(n-4\right)\right]\\ =\left(n-4\right)\left(n-2\right)n\left(n+2\right)\)

Với n chẵn và \(n>4\) thì đây là tích 4 số nguyên chẵn liên tiếp nên chia hết cho \(2\cdot4\cdot6\cdot8=384\)