Lời giải:

$x+my=2\Rightarrow x=2-my$. Thay vào PT(2):

$m(2-my)-2y=1$

$\Leftrightarrow 2m-y(m^2+2)=1$

$\Leftrightarrow y=\frac{2m-1}{m^2+2}$

$x=2-my=2-\frac{2m^2-m}{m^2+2}=\frac{m+4}{m^2+2}$

Vậy hpt có nghiệm $(x,y)=(\frac{m+4}{m^2+2}; \frac{2m-1}{m^2+2})$

Để $x<0; y>0$

$\Leftrightarrow \frac{m+4}{m^2+2}<0$ và $\frac{2m-1}{m^2+2}>0$

$\Leftrightarrow m+4<0$ và $2m-1>0$ (do $m^2+2>0$)

$\Leftrightarrow m< -4$ và $m> \frac{1}{2}$  (vô lý)

Do đó không tồn tại $m$ thỏa mãn đề.

Hệ có nghiệm duy nhất khi: \(\dfrac{1}{m}\ne\dfrac{m}{-2}\Rightarrow m^2\ne-2\) (luôn đúng)

\(\Rightarrow\) Hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

Khi đó: \(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x+2my=4\\m^2x-2my=m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+2\right)x=m+4\\y=\dfrac{mx-1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{4m-2}{2\left(m^2+2\right)}\end{matrix}\right.\)

Nghiệm hệ thỏa mãn x<0, y<0 \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{m+4}{m^2+2}< 0\\\dfrac{4m-2}{2\left(m^2+2\right)}< 0\end{matrix}\right.\) (1)

Do \(m^2+2>0;\forall m\) nên (1) tương đương:

\(\left\{{}\begin{matrix}m+4< 0\\4m-2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -4\\m< \dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -4\)

(x:y)=(2;3)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-3m=0\\2m-3=m+1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-3m=0\\m-4=0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow2-3m=m-4\)

\(\Leftrightarrow4m=6\)

\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Thay x=2 và y=3 vào HPT, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}2-3m=0\\2m-3=m+1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m\in\varnothing\)

giúp mình vớiii

Bài 1.

\(\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\2x+y=3\left(m+1\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-3y=5-2m\\6x+3y=9m+9\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7x=7m+14\\x-3y=5-2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\m+2-3y=5-2m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\-3y=-3m+3\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m+2\\y=m-1\end{matrix}\right.\)

\(x_0^2+y_0^2=9m\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2+\left(m-1\right)^2=9m\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4+m^2-2m+1-9m=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-7m+5=0\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\) ( Vi-ét )

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+y=3\left(1\right)\\4x+my=6\left(2\right)\end{matrix}\right.\) 

TH1: m=0 có nghiệm:\(\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{6}{4}\\y=3\end{matrix}\right.\) ( Thỏa mãn điều kiện đề bài ) => nhận m=0

TH2: m khác 0 \(\dfrac{m}{4}\ne\dfrac{1}{m}\Leftrightarrow m\ne\pm2\) 

\(\left\{{}\begin{matrix}\left(1\right)\Rightarrow y=3-mx\\\left(2\right)\Rightarrow x=\dfrac{6-my}{4}=\dfrac{6-m\left(3-mx\right)}{4}\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left(m^2-4\right)x=3m-6\) \(\Rightarrow x=\dfrac{3}{m+2}\) đối chiếu điều kiện: (x>1)

\(\Rightarrow\dfrac{3}{m+2}-1>0\) \(\Leftrightarrow\dfrac{1-m}{m+2}>0\)

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}1-m< 0\\m+2< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\m< -2\end{matrix}\right.\) ( Loại )

TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}1-m>0\\m+2>0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 1\\m>-2\end{matrix}\right.\) ( Nhận ) \(\Rightarrow m\in\left(-2;1\right)\) 

Đối chiếu điều kiện: y>0 \(\Leftrightarrow3-m\left(\dfrac{3}{m+2}\right)>0\) 

\(\Leftrightarrow\dfrac{2}{m+2}>0\) \(\Leftrightarrow m>-2\) 

Gộp cả 2 điều kiện x và y ta được m=-1 và m=0 

Nãy giờ gõ nó cứ bị lỗi :D 

$\begin{cases}x+my=m+1\\y+mx=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y+m(m+1-my)=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y-my^2+m^2+m=3m-1\\\end{cases}$
$\Leftrightarrow\begin{cases}x=m+1-my\\y(m^2-1)=m^2-2m+1\\\end{cases}$
Để HPT có nghiệm duy nhất thì $m^2-1 \neq 0\\\Leftrightarrow m \ne \pm1$
$\Leftrightarrow\begin{cases}y=\dfrac{(m-1)^2}{(m-1)(m+1)}=\dfrac{m-1}{m+1}\\x=m+1-my=\dfrac{(m+1)^2-m^2+m}{m+1}=\dfrac{3m+1}{m+1}\\\end{cases}$
$\Rightarrow xy=\dfrac{(3m+1)(m-1)}{(m+1)^2}$
$=\dfrac{3m^2-2m-1}{(m+1)^2}$
Xét $xy+1$
$=\dfrac{3m^2-2m-1+m^2+2m+1}{(m+1)^2}$
$=\dfrac{4m^2}{(m+1)^2} \ge 0$
$\Rightarrow xy \ge -1$
Dấu "=" xảy ra khi $m=0$
Vậy m=0 thì HPT có nghiệm duy nhất và $min_{xy}=-1$