Ta có:-a(c-d)-d(a+c)

=-ac+ad-da-dc

=-ac-dc

=-c(a+d) (đpcm)

=-ac+ad-ad-dc

=(ad-ad)-ac-dc

=0-(ac+cd)

=-(ac+cd)

=-c(a+d)

a) \(a.\left(b+c\right)-b.\left(a-c\right)=a.b+a.c-b.a+b.c=a.c+b.c=c.\left(a+b\right)\)

b) \(a.\left(b-c\right)-a.\left(b+d\right)=a.b-a.c-a.b-a.d=-a.c-a.d=-a.\left(c+d\right)\)

ĐPCM

a)Xét VT(vế trái)=a.(b+c)-b.(a-c)         b)Xét VT=a(b-c)-a(b+d)

a) \(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\) =>\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)\(=\frac{a+b+a-b}{c+d+c-d}=\frac{2a}{2c}=\frac{a}{c}\)(1)

CMTT ta có: \(\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}=\frac{a+b-\left(a-b\right)}{c+d-\left(c-d\right)}\)\(=\frac{a+b-a+b}{c+d-c+d}=\frac{2b}{2d}=\frac{b}{d}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\left(=\frac{a+b}{c+d}\right)\)=>\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\)(ĐPCM)

khong giai b a

\(\sqrt{\sqrt[]{}\frac{ }{ }\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\hept{\begin{cases}\\\\\end{cases}}\orbr{\begin{cases}\\\end{cases}}^{ }^{ }^{ }_{ }^2_{ }\widebat{ }}\)

a) \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow ad=bc\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{b}{d}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 

\(\frac{a}{c}=\frac{b}{d}=\frac{a+b}{c+d}=\frac{a-b}{c-d}\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(c-d\right)=\left(c+d\right)\left(a-b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}\)(đpcm)

b) Áp dụng kết quả phần a) và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{a+b}{a-b}=\frac{c+d}{c-d}=\frac{a+b+c+d}{a-b+c-d}=\frac{a+b-c-d}{a-b-c+d}\)(chỗ này mình phá ngoặc luôn nhé)

\(\Rightarrow\left(a+b+c+d\right)\left(a-b-c+d\right)=\left(a-b+c-d\right)\left(a+b-c-d\right)\)(đpcm)

Bài 1:

\(-\left(-m+n+p\right)+\left(n+p-3\right)=\left(n-p+8\right)-\left(11-m+n\right)+p\\ \Leftrightarrow m-n-p+n+p-3=n-p+8-11+m-n+p\\ \Leftrightarrow\left(n-n\right)+\left(p-p\right)+m-3=\left(n-n\right)+\left(p-p\right)+m+\left(8-11\right)\\ \Leftrightarrow m-3=m+\left(-3\right)\\ \Leftrightarrow m-3=m-3\\ \Leftrightarrow0=0\left(\text{luôn đúng}\right)\)

Ta được đpcm

Bài 2:

\(A-B=\left(b-c-4\right)-\left(b-a\right)\\ A-B=b-c-4-b+a\\ A-B=\left(b-b\right)+a-c-4\\ A-B=a-c-4\left(1\right)\)

\(C+D=\left(-b-c+1\right)+\left(a+b-5\right)\\ C+D=-b-c+1+a+b-5\\ C+D=\left(b-b\right)+a-c+\left(1-5\right)\\ C+D=a-c+\left(-4\right)\\ C+D=a-c-4\left(2\right)\)

(1) (2) \(\Rightarrow A-B=C+D\left(đpcm\right)\)

Đặt A=\(\dfrac{b+c+5}{1+a}+\dfrac{c+a+4}{2+b}+\dfrac{a+b+3}{3+c}\)

Ta có :A+3=\(\left(\dfrac{b+c+5}{1+a}+1\right)+\left(\dfrac{c+a+4}{2+b}+1\right)+\left(\dfrac{a+b+3}{3+a}+1\right)\)

=\(\dfrac{a+b+c+6}{1+a}+\dfrac{a+b+c+6}{2+b}+\dfrac{a+b+c+6}{3+c}\)

=\(\left(a+b+c+6\right)\left(\dfrac{1}{1+a}+\dfrac{1}{2+b}+\dfrac{1}{3+c}\right)\)

=\([\left(a+1\right)+\left(b+2\right)+\left(c+3\right)|\left(\dfrac{1}{a+1}+\dfrac{1}{b+2}+\dfrac{1}{c+3}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(\left(x+y+z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)\ge9\)( với x,y,z>0)

Ta có :A+3\(\ge9\)\(\Rightarrow A\ge6\)

Dấu "=" xảy ra khi a=3,b=2,c=1

Vế trái = a(b + c) - b(a - c)

= ab + ac - ba + bc

= ac + bc = (a + b)c = vế phải