Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{2}\) và điểm I(1;0;3).Tính khoảng cách từ điểm I đến đường thẳng d .Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I cắt d tại hai điểm A,B sao cho tam giác IAB vuông tại I
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1: \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{2}\)và d2: \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-3}{2}=\dfrac{z-4}{3}\) và mp (P): 2x+2y+2z-5=0. Điểm M(a;b;c) thuộc mp (P) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường thẳng d1 và d2 đạt min. Tính a + 2b +c.
Bài này cần có 1 điều gì đó đặc biệt trong các đường - mặt để giải được (nếu ko chỉ dựa trên khoảng cách thông thường thì gần như bất lực). Thường khoảng cách dính tới đường vuông góc chung, thử mò dựa trên nó :)
Bây giờ chúng ta đi tìm đường vuông góc chung d3 của d1; d2, và hi vọng rằng giao điểm C của d3 với (P) sẽ là 1 điểm nằm giữa A và B với A và giao của d1 và d3, B là giao của d2 và d3 (nằm giữa chứ ko cần trung điểm), thường ý tưởng của người ra đề sẽ là như vậy. Khi đó điểm M sẽ trùng C. Còn C không nằm giữa A và B mà nằm ngoài thì đầu hàng cho đỡ mất thời gian (khi đó việc tìm cực trị sẽ rất lâu).
Quy pt d1 và d2 về dạng tham số, gọi A là 1 điểm thuộc d1 thì \(A\left(t+1;t+2;2t\right)\) và B là 1 điểm thuộc d2 thì \(B\left(t'+1;2t'+3;3t'+4\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(t'-t;2t'-t+1;3t'-2t+4\right)\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d1}}=0\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_{d2}}=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t'-t+2t'-t+1+2\left(3t'-2t+4\right)=0\\t'-t+2\left(2t'-t+1\right)+3\left(3t'-2t+4\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t=0\\t'=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A\left(1;2;0\right)\\B\left(0;1;1\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\overrightarrow{BA}=\left(1;1-1\right)\)
Phương trình AB hay d3: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=2+t\\z=-t\end{matrix}\right.\)
Giao điểm C của d3 và (P): \(2\left(1+t\right)+2\left(2+t\right)-2t-5=0\)
\(\Rightarrow C\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Ủa, ko chỉ nằm giữa luôn, mà người ta cho hẳn trung điểm cho cẩn thận :)
Vậy \(M\left(\dfrac{1}{2};\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}\right)\)
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{2}=\dfrac{z}{1}\) và hai điểm \(A\left(1;-1;1\right)\), \(B\left(4;2;-2\right)\). Gọi Δ là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) sao cho khoảng cách từ điểm \(B\) đến Δ là nhỏ nhất. Phương trình đường thẳng Δ là:
A. \(\dfrac{x-1}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{4}\) B. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{4}\)
C. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{-1}=\dfrac{z-1}{4}\) D. \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{z-1}{-4}\)
Mặt phẳng (P) qua A và vuông góc d có phương trình:
\(2\left(x-1\right)+2\left(y+1\right)+1\left(z-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow2x+2y+z-1=0\)
Đường thẳng d' song song d và đi qua B (nên d' vuông góc (P)) có dạng:
\(\left\{{}\begin{matrix}x=4+2t\\y=2+2t\\z=-2+t\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Giao điểm C của d' và (P) thỏa mãn:
\(2\left(4+2t\right)+2\left(2+2t\right)-2+t-1=0\Rightarrow t=-1\Rightarrow C\left(2;0;-3\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{AC}=\left(1;1;-4\right)\Rightarrow\) là 1 vtcp của \(\Delta\Rightarrow\) D là đáp án đúng
Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-1}{2}=\dfrac{z+1}{1}\) và hai điểm \(A\left(6;0;0\right)\), \(B\left(0;0;-6\right)\). Khi điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\), hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=MA+MB\)
A. \(minP=6\sqrt{3}\) B. \(minP=6\sqrt{2}\) C. \(minP=9\) D. \(minP=12\)
Mình cần bài giải ạ, mình cảm ơn nhiều♥
Phương trình d dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=1+2t\\z=-1+t\end{matrix}\right.\)
Gọi \(M\left(1+2t;1+2t;-1+t\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AM}=\left(2t-5;2t+1;t-1\right)\\\overrightarrow{BM}=\left(2t+1;2t+1;t+5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{\left(2t-5\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t-1\right)^2}+\sqrt{\left(2t+1\right)^2+\left(2t+1\right)^2+\left(t+5\right)^2}\)
\(=\sqrt{9t^2-18t+27}+\sqrt{9t^2+18t+27}\)
\(=\sqrt{\left(3-3t\right)^2+18}+\sqrt{\left(3+3t\right)^2+18}\)
\(\ge\sqrt{\left(3-3t+3+3t\right)^2+4.18}=6\sqrt{3}\)
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): z-1= 0 và (Q): x+y+z-3 =0. Gọi d là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P), cắt đường thẳng: \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}\) và vuông góc với đường thẳng Δ. Phương trình đường thẳng d là?
Phương trình \(d_1\) : \(\dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{-1}=\dfrac{z-3}{-1}\) dạng tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\t=2-t\\z=3-t\end{matrix}\right.\)
Gọi A là giao điểm d1 và (P), tọa độ A thỏa mãn:
\(3-t-1=0\Rightarrow t=2\Rightarrow A\left(3;0;1\right)\)
\(\overrightarrow{n_P}=\left(0;0;1\right)\) ; \(\overrightarrow{n_Q}=\left(1;1;1\right)\)
\(\overrightarrow{u_{\Delta}}=\left[\overrightarrow{n_P};\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-1;1;0\right)\)
\(\left[\overrightarrow{u_{\Delta}};\overrightarrow{n_P}\right]=\left(1;1;0\right)\)
Phương trình d: \(\left\{{}\begin{matrix}x=3+t\\y=t\\z=1\end{matrix}\right.\)
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho mặt cầu \(\left(S\right):\left(x+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+\left(z-3\right)^2=48\) và đường thẳng \(\left(d\right):\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{\sqrt{2}}\) . Điểm \(M\left(a;b;c\right)\left(a>0\right)\) nằm trên đường thẳng \(\left(d\right)\) sao cho từ \(M\) kẻ được 3 tiếp tuyến \(MA,MB,MC\) đến mặt cầu \(\left(S\right)\) thỏa mãn \(\widehat{AMB}=60^o,\widehat{BMC}=90^o,\widehat{CMA}=120^o\). Tính \(Q=a+b-c\)?
Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho đường thẳng \(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-1}{1}\) và mặt cầu \(\left(S\right):\left(x-4\right)^2+\left(y-5\right)^2+\left(z-7\right)^2=2\). Hai điểm A và B thay đổi trên (S) sao cho tiếp diện của (S) tại A và B vuông góc với nhau. Đường thẳng qua A song song với d cắt (Oxy) tại M, đường thẳng qua B song song với d cắt (Oxy) tại N. Tìm giá trị lớn nhất của tổng \(AM+BN=?\)
A. \(8\sqrt{6}\)
B. \(\sqrt{20}\)
C. \(16\sqrt{6}\)
D. \(7\sqrt{6}+5\sqrt{3}\)
Câu 26: Trong không gian Oxyz, đường thẳng d: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{3}\) đi qua điểm nào dưới đây.
A. (3;1;3) B. (2;1;3)
C. (3;1;2) D. (3;2;3)
LÀM DƯỚI DẠNG TỰ LUẬN CHO MÌNH NHÉ
\(d:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{3}\)
Thấy \(A\left(3;1;3\right)\) thay vào \(d\Rightarrow\dfrac{2}{2}=\dfrac{1}{1}=\dfrac{3}{3}\)
\(\Leftrightarrow1=1=1\)
\(\Rightarrow A\)
-Chúc bạn học tốt-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai đường thẳng d1: \(\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z}{1}\) và d2: \(\dfrac{x}{2}=\dfrac{y-1}{-1}=\dfrac{z-2}{-1}\)
\(\overrightarrow{u_{d1}}=\left(-1;1;1\right)\) ; \(\overrightarrow{u_{d2}}=\left(2;-1;-1\right)\)
\(\Rightarrow\left[\overrightarrow{u_{d1}};\overrightarrow{u_{d2}}\right]=\left(0;1;-1\right)\)
Do (P) song song \(d_1;d_2\Rightarrow\left(P\right)\) nhận \(\left(0;1;-1\right)\) là 1 vtpt
Phương trình (P) có dạng: \(y-z+c=0\)
Lấy \(A\left(2;0;0\right)\in d_1\) và \(B\left(0;1;2\right)\in d_2\)
Do (P) cách đều 2 đường thẳng \(\Rightarrow d\left(A;\left(P\right)\right)=d\left(B;\left(P\right)\right)\)
\(\Rightarrow\dfrac{\left|0-0+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}=\dfrac{\left|1-2+c\right|}{\sqrt{1^2+\left(-1\right)^2}}\Rightarrow\left|c\right|=\left|c-1\right|\)
\(\Rightarrow c=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\) phương trình (P) có dạng:
\(y-z+\dfrac{1}{2}=0\)
trong không gian oxyz, cho ba đường thẳng \(d_1:\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y+1}{2}=\dfrac{z-1}{1},d_2:\dfrac{x}{1}=\dfrac{y-1}{-2}=\dfrac{z+1}{2},d_3:\dfrac{x-3}{2}=\dfrac{y+2}{-1}=\dfrac{z+1}{-2}\). mặt phẳng (p) : ax + by + cz -1 = 0 (với a, b là các số nguyên dương) đi qua m(2;0;1) và cắt 3 đường thẳng trên lần lượt tại 3 điểm a, b, c sao cho tam giác abc đều. tìm (p)
Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1;3;0), B(-3;1;4) và đường thẳng \(\Delta:\dfrac{x-2}{-1}=\dfrac{y+1}{1}=\dfrac{\text{z}-2}{3}\) . Xét khối nón (N) có đỉnh có tọa độ nguyên thuộc đường thẳng \(\Delta\) và ngoại tiếp mặt cầu đường kính AB. Khi (N) có thể tích nhỏ nhất thì mặt phẳng chứa đường tròn đáy của (N) có phương trình dạng ax+by+cz +1=0. Giá trị a+b+c bằng:
A.1
B.3
C.5
D.-6
Mặt cầu tâm \(I\left(-1;2;2\right)\) bán kính \(R=3\), gọi \(r\) là bán kính đường tròn đáy và \(h\) là đường cao nón
Thực hiện mặt cắt qua trục khối nón ta được như hình bên dưới:
Đặt \(\widehat{MIH}=x\Rightarrow\widehat{NIK}=180^0-2x\)
\(r=MH=R.tanx=3tanx\)
\(IN=\dfrac{IK}{cos\left(180^0-2x\right)}=\dfrac{3}{-cos2x}\Rightarrow h=IN+IH=3-\dfrac{3}{cos2x}\)
\(V=\dfrac{1}{3}\pi R^2h=9\pi.tan^2x.\left(1-\dfrac{1}{cos2x}\right)=9\pi.tan^2x\left(1-\dfrac{1+tan^2x}{1-tan^2x}\right)\)
Đặt \(tan^2x=t>0\) và \(f\left(t\right)=t\left(1-\dfrac{1+t}{1-t}\right)=\dfrac{2t^2}{t-1}\Rightarrow f'\left(t\right)=\dfrac{2\left(t^2-2t\right)}{\left(t-1\right)^2}=0\Rightarrow t=2\)
\(f\left(t\right)_{min}=f\left(2\right)\Rightarrow V_{min}\) khi \(tan^2x=2\Rightarrow cos2x=\dfrac{1-tan^2x}{1+tan^2x}=-\dfrac{1}{3}\)
\(\Rightarrow IN=\dfrac{3}{-cos2x}=9\)
Do N thuộc \(\Delta\) nên tọa độ có dạng: \(N\left(2-t;-1+t;2+3t\right)\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\left(3-t;t-3;3t\right)\)
\(\Rightarrow2\left(t-3\right)^2+9t^2=81\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=3\\t=-\dfrac{21}{11}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow N\left(-1;2;8\right)\)
Mặt phẳng (P) nhận \(\overrightarrow{IN}\) là 1 vtpt và cách I một khoảng bằng \(R=3\), bạn tự hoàn thành phần còn lại