a) Do n, n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia hết cho 2.

Nếu \(n⋮3\Rightarrow\) tích trên chia hết cho 3. Do (2;3) = 1 nên tích trên chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 hay 2n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Tóm lại với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)

b. Ta đặt \(A=n^5-5n^3+4n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\)

Đây là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 5.

Trong 5 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra A chia hết cho 8.

Lại thấy (3; 5; ;8) = 1 nê A chia hết cho 3.5.8 = 120.

c) \(B=n^4+6n^3+11n^2+6n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

B là tích bốn số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 3.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra B chia hết cho 8.

Mà (3;8) = 1 nên B chia hết 3.8 = 24.

khai triển ra, ta dc:
25^n+5^n-18^n-12^n (1)
=(25^n-18^n)-(12^n-5^n)
=(25-18)K-(12-5)H = 7(K-H) chia hết cho 7
.giải thích: 25^n-18^n=(25-18)[25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n]=7K vì đặt K là [25^(n-1)+ 25^(n-2).18^1 +.....+18^n, cái (12-5)H cx tương tự

Biểu thức đó đã chia hết cho 7 rồi, bây h cần chứng minh biểu thức đó chia hết cho 13 là xong
từ (1) nhóm ngược lại để chia hết cho 13. Cụ thể là (25^n-12^n)-(18^n-5^n) chia hết cho 13, cách chứng minh chia hết cho 13 này cx tương tự như cách c.minh chia hết cho 7

.1Mà biểu thức này vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13 nên chia hết cho (7.13)=91

Xong!!!

cái này dễ hiểu hơn

5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) chia hết cho 91
A = 5^n (5^n + 1) – 6^n (3^n + 2^n) = + 5^n – 18^n – 12^n
= 25^n – 18^n – (12^n – 5^n)
Ta có: 25 – 18 chia hết cho 7
Nên 25 đồng dư với 18 khi chia cho 7
Hay 25^n đồng dư với 18^n khi chia cho 7
Suy ra 25^n – 18^n chia hết cho 7
Chứng minh tương tự thì 12^n – 5^n chia hết cho 7
Nên A chia hết cho 7
Mặt khác A = 25^n – 12^n – (18^n – 5^n)
với 25^n – 12^n và 18^n – 5^n đều chia hết cho 13
Suy ra A chia hết cho 13
Vậy A chia hết cho 7.13 = 91

ta có : 

\(n^3+5n=n^2-n+6n\)

                \(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+6n\)

mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2;3\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n.\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow6n⋮6\)

\(\Rightarrow n^3+5n⋮6\)

sorry mk nhầm ! 

chỗ : \(n^2-n+6n\)phải thành 

\(n^3-n+6n\)

\(n^3+5n=n.\left(n^2+5\right)=n.\left(n^2-1\right)+6n=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)+6n\)

\(\hept{\begin{cases}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right)⋮2,3\text{ hay }n.\left(n+1\right).\left(n-1\right)⋮6\forall n\in Z\\6n⋮6\forall n\in Z\end{cases}}\)

=> đpcm

p/s: cách này có vẻ gọn hơn  =) 

Thực hiện phép chia, ta được:Thương của A chia cho B là n3 – 6n2 + 11n – 6Ta có: 3 2 3 226 11 6 12 6 6( 1) .( 1) 6.(2 1)n n n n n n nn n n n n− + − = − + − −= − + + − −Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6Mặt khác 6(2n-n2-1) chia hết cho 6=> Th¬ng cña phÐp chia A cho B lµ béi sè cña 6

 

Ta có :\(n^3-13n\)

\(=\left(n^3-n\right)-12n\)

\(=n\left(n^2-1\right)-6\left(2n\right)\)

\(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)-6\left(2n\right)\)

Vì (n-1);n;n+1 là ba số tự nhiên liên tiếp =>(n-1)n(n+1)\(⋮\)2 và 3;

=>(n-1)n(n+1)\(⋮\)6

Mà 6(2n)\(⋮\)6

=>(n-1)n(n+1)-6(2n)\(⋮6\)

\(\Rightarrow n^3-13n⋮6\)

n⁴ +6n³ + 11n² + 6n

= n ( n³ + 2n² + 4n² + 8n + 3n + 6)

= n (n+2)(n² + 4n + 3)

=n(n+2)(n+1)(n+3) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3.

Mà (3;8) = 1 => n⁴ +6n³ + 11n² + 6n chia hết cho 24

Ta có :

\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n\)

\(=n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left(n^3+4n^2+3n\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left[n^2\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\right]\)

\(=\left(n+2\right)\left(n+1\right)\left(n^2+3n\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp .

Nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮24\)

\(\Rightarrow n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\) ( đpcm )