Question

C/m : Với \(\forall n\in N\) thì n⁴+6n³+11n²+6n \(⋮24\)

Answer 1

n⁴ +6n³ + 11n² + 6n

= n ( n³ + 2n² + 4n² + 8n + 3n + 6)

= n (n+2)(n² + 4n + 3)

=n(n+2)(n+1)(n+3) là tích 4 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 8 và 3.

Mà (3;8) = 1 => n⁴ +6n³ + 11n² + 6n chia hết cho 24

Answer 2

Ta có :

\(n^4+6n^3+11n^2+6n\)

\(=n^4+2n^3+4n^3+8n^2+3n^2+6n\)

\(=n^3\left(n+2\right)+4n^2\left(n+2\right)+3n\left(n+2\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left(n^3+4n^2+3n\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left(n^3+n^2+3n^2+3n\right)\)

\(=\left(n+2\right)\left[n^2\left(n+1\right)+3n\left(n+1\right)\right]\)

\(=\left(n+2\right)\left(n+1\right)\left(n^2+3n\right)\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

Vì \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)là tích của 4 số tự nhiên liên tiếp .

Nên \(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)⋮24\)

\(\Rightarrow n^4+6n^3+11n^2+6n⋮24\) ( đpcm )