Cho abcd = 1. Chứng minh rằng \(\frac{1}{1+ab+bc+ca}+\frac{1}{1+bc+cd+db}+\frac{1}{1+cd+da+ac}+\frac{1}{1+da+ab+bd}\le1\)
Những câu hỏi liên quan
Cho \(a,b,c,d\in[0;1]\)
CMR: \(\frac{a}{bc+cd+db+1}+\frac{b}{cd+da+ac+1}+\frac{c}{da+ab+bd+1}+\frac{d}{ab+bc+ca+1}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}\)
Cho \(a,b,c,d\in[0;1]\)
CMR: \(\frac{a}{bc+cd+db+1}+\frac{b}{cd+da+ac+1}+\frac{c}{da+ab+bd+1}+\frac{d}{ab+bc+ca+1}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}\)
cho a,b,c,d \(\in\left[0;1\right]\)cmr
\(\frac{a}{bc+cd+db+1}+\frac{b}{cd+da+ac+1}+\frac{c}{da+ab+bd+1}+\frac{d}{ab+bc+ca+1}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4abcd}\)
Đặt \(\hept{\begin{cases}x=\frac{a+b}{2}\\y=\frac{c+d}{2}\end{cases}}\)
Ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow ab+1\ge a+b\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca+1\ge bc+ca+a+b=\left(a+b\right)\left(c+1\right)\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(1\right)\)
Tương tự ta có:
\(bc+cd+db+1\ge\left(a+b\right)\left(b+d\right)\left(2\right)\)
\(cd+da+ac+1\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(3\right)\)
\(da+ab+bd+1\ge\left(a+b\right)\left(c+d\right)\left(4\right)\)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có:
\(VT\le\frac{a+b+c+d}{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}=\frac{x+y}{2xy}\le\frac{xy+1}{2xy}\left(@\right)\)
Ta lại có:
\(VP\ge\frac{3}{4}+\frac{1}{4x^2y^2}\left(@@\right)\)
Từ \(\left(@\right),\left(@@\right)\)cái cần chứng minh trở thành.
\(\frac{xy+1}{2xy}\le\frac{3}{4}+\frac{1}{4x^2y^2}\)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)^2\ge0\)(đúng)
Vậy ta có ĐPCM.
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho \(a,b,c,d>0\). Chứng minh rằng: \(\frac{1}{a^2+ab}+\frac{1}{b^2+bc}+\frac{1}{c^2+cd}+\frac{1}{d^2+da}\ge\frac{4}{ac+bd}\)
Svacxo chăng :33 Ai thử đi, e sợ biến nhiều lắm :))
Cho a,b,c,d thuoc [0,1]. CMR a/(bc+cd+db+1) +b/(cd+da+ac+1) +c(da+ab+bd+1)+d/(ab+bc+ca+1)<= 3/4 +1/4abcd
Cho tứ giác ABCD. Chứng minh
\(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}< AC+BD< AB+BC+CD+DA\)
Cho hình tahng ABCD, đáy nhỏ AB, AD vuông CD và AD=CD. Vẽ đường cao BH. Trên tia đối của tia DA lấy K sao cho DK=CH. Gọi E là giao điểm của hai đường thẳng AD và BC. Chứng minh rằng:
a) BC vuoog CK
b) \(\frac{1}{CD^2}=\frac{1}{CE^2}+\frac{1}{CB^2}\)
Cho hình thang ABCD có AC cắt BD tại O.Qua O,kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại I và AD tại J
a,chứng minh :BC.OI=AB.CI
b,chứng minh :\(\frac{OI}{CD}=\frac{BI}{BC}\)
c,chứng minh :OI=OJ
d,chứng minh:\(\frac{1}{OI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\)
a) Xét ΔOIC và ΔABC có:
\(\widehat{ACB}\) : góc chung
\(\widehat{OIC}=\widehat{ABC}\) (đồng vị do JI//AB(gt))
=> ΔOIC~ΔABC(g.g)
=>\(\frac{OI}{AB}=\frac{CI}{BC}\)
=> BC.OI=AB.CI
b) Theo định lý đảo của định lý ta-let vào ΔBDC :
=> \(\frac{OI}{DC}=\frac{BI}{BC}\)
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho hình thang ABCD (AB, CD là đáy), ABfrac{1}{3}CD, O là giao điểm của AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC, AD ở I và J.a) Tính tỉ số frac{OA}{AC}b) Gọi M là trung điểm của BC. P và Q lầm lượt là giao điểm của OM với AB và DC. TÍnh tỉ số frac{PA}{AB}và frac{QC}{QD}.c) Chứng minh rằng frac{1}{OI}frac{1}{AB}+frac{1}{CD}d) Chứng minh rằng frac{2}{IJ}frac{1}{AB}+frac{1}{CD}
Đọc tiếp
Cho hình thang ABCD (AB, CD là đáy), \(AB=\frac{1}{3}CD\), O là giao điểm của AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC, AD ở I và J.
a) Tính tỉ số \(\frac{OA}{AC}\)
b) Gọi M là trung điểm của BC. P và Q lầm lượt là giao điểm của OM với AB và DC. TÍnh tỉ số \(\frac{PA}{AB}\)và \(\frac{QC}{QD}\).
c) Chứng minh rằng \(\frac{1}{OI}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\)
d) Chứng minh rằng \(\frac{2}{IJ}=\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\)\(\)