Lời giải:

$M=x^3+y^3+2xy=(x+y)(x^2-xy+y^2)+2xy=x^2-xy+y^2+2xy$

$=x^2+y^2+xy=\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}(x+y)^2=\frac{1}{4}(x-y)^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}$

Vậy $M_{\min}=\frac{3}{4}$. Giá trị này đạt được khi $x=y=\frac{1}{2}$

Có x^2 + 2xy + 4x + 4y + 2y^2 + 3 = 0

--> (x+y)^2 + 4(x+y) + 4+ y^2 - 1 = 0

--> (x+y+2)^2 + y^2 = 1

-->(x+y+2)^2 <= 1 ( vì y^2 >=1)

--> -1 <= x+y+2 <=1

--> 2015 <= x+y+2018 <= 2017

hay 2015 <= Q , dau bang xay ra khi x+y+2=-1 --> x+y=-3

Q<=2017, dau bang xay ra khi  x+y+2=1 --> x+y=-1

Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 2015 khi x+y =-3

 giá trị lớn nhất của Q là 2017 khi x+y=-1

giá trị lớn nhất là 2017

2) \(A=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\)

\(=2\left(x^2-xy+y^2\right)+2xy\)

\(=2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=4\)(BĐT Bunhiacopxki)

=> A \(\ge4\)Dấu "=" xảy ra <=> x=y=1

a/ giá trị nhỏ nhất của A  là 2

b/ giá trị lớn nhất của B là 51

tớ chỉ có bài tham khảo trên mạng thôi bạn thông cảm

Ta có: x + y = 1
   <=> (x + y)³ = 1
   <=> x³ + y³ + 3xy(x + y) = 1
   <=> x³ + y³ + 3xy = 1 (do x + y = 1)
   <=> x³ + y³ = 1 - 3xy
Áp dụng BĐT Cô - si, ta có:
   xy >= (x+y)24=14(x+y)24=14
<=> -3xy≥−34≥−34
Ta có x³ + y³ = 1 - 3xy ≥1−34=14≥1−34=14
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1212
Vậy GTNN của x³ + y³ là 1414khi x =  y = 12

c/  GTNN của C là 5

d/ y = 12 , x = 12 

Áp dụng BĐT cosi cho \(x,y>0\)

\(M=x+y+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\ge2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}+2\sqrt{y\cdot\dfrac{1}{y}}=4\)

Dấu \("="\Leftrightarrow x=y=1\)

Mà \(x+y=2\le\dfrac{4}{3}\left(vô.lí\right)\) nên dấu \("="\) không xảy ra

Vậy M không có GTNN

\(y\ge xy+1\ge2\sqrt{xy}\Rightarrow\sqrt{\dfrac{y}{x}}\ge2\Rightarrow\dfrac{y}{x}\ge4\)

\(Q=\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+2\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}{\dfrac{y}{x}+\left(\dfrac{y}{x}\right)^2}\)

Đặt \(\dfrac{y}{x}=a\ge4\)

\(Q=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}=\dfrac{2a^2-2a+1}{a^2+a}-\dfrac{5}{4}+\dfrac{5}{4}=\dfrac{\left(a-4\right)\left(3a-1\right)}{4\left(a^2+1\right)}+\dfrac{5}{4}\ge\dfrac{5}{4}\)

\(Q_{min}=\dfrac{5}{4}\) khi \(a=4\) hay \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{1}{2};2\right)\)