Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)\rightarrow\left(x;y;z\right)\)\(\Rightarrow\)\(x^2+y^2+z^2=4\)

\(P=\frac{x^3}{x+3y}+\frac{y^3}{y+3z}+\frac{z^3}{z+3x}=\frac{x^4}{x^2+3xy}+\frac{y^4}{y^2+3yz}+\frac{z^4}{z^2+3zx}\)

\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=\frac{4^2}{4+3.4}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{2}{\sqrt{3}}\)

à nhầm, \(a=b=c=\frac{4}{3}\) nhé 

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

a/ \(Q=1+\left[\frac{\left(2\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1-\sqrt{a}\right)}-\frac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}\right].\frac{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)

        \(=1+\left[\frac{2\sqrt{a}-1}{1-\sqrt{a}}-\frac{2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}\right].\frac{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)

        \(=1+\left[\frac{\left(2\sqrt{a}-1\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)-\left(2a\sqrt{a}-\sqrt{a}+a\right)}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}\right].\frac{\sqrt{a}.\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)

        \(=1+\left[\frac{2\sqrt{a}-1}{\left(1-\sqrt{a}\right)\left(1+\sqrt{a}+a\right)}\right].\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}-1\right)}{2\sqrt{a}-1}\)\(=1+\frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}+a}=\frac{1+2\sqrt{a}+a}{1+\sqrt{a}+a}\)

b/ \(Q=\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}\Leftrightarrow1+\frac{\sqrt{a}}{1+\sqrt{a}+a}=\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}\)         \(\Leftrightarrow\frac{1+2\sqrt{a}+a}{1+\sqrt{a}+a}=\frac{\sqrt{6}}{1+\sqrt{6}}\)

          \(\Leftrightarrow\left(1+\sqrt{6}\right)\left(1+2\sqrt{a}+a\right)=\sqrt{6}\left(1+\sqrt{a}+a\right)\)

             Tới đây mình k biết giải

c/ \(Q>\frac{2}{3}\Leftrightarrow\frac{1+2\sqrt{a}+a}{1+\sqrt{a}+a}>\frac{2}{3}\)\(\Leftrightarrow3.\left(1+2\sqrt{a}+a\right)>2.\left(1+\sqrt{a}+a\right)\)

        \(\Leftrightarrow3+6\sqrt{a}+3a-2-2\sqrt{a}-2a>0\Leftrightarrow1+4\sqrt{a}+a>0\)

          \(\Leftrightarrow x< -2-\sqrt{3}Vx>-2+\sqrt{3}\)

\(B=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+3\right)}{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}-\frac{3\left(\sqrt{a}-3\right)}{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}-\frac{a-2}{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}\)

\(=\frac{a+3\sqrt{a}-3\sqrt{a}+9-a+2}{\left(\sqrt{a}-3\right)\left(\sqrt{a}+3\right)}=\frac{11}{a-9}\)

Để B nguyên thì \(\frac{11}{a-9}\inℤ\Leftrightarrow a-9\inƯ\left(11\right)=\left\{\pm1;\pm11\right\}\)

đến đây bạn tự lập bảng xét ước nhé :c chú ý ĐK giùm mình không lại sai :>

Bài 1

a) \(P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}+\frac{\sqrt{a}-2}{1-\sqrt{a}}\)    (ĐK : x\(\ge0\) ; x\(\ne\) 1)

        \(=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}-\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}\)

         \(=\frac{3a+\sqrt{9a}-3-\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)-\left(\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{3a+\sqrt{9a}-3-a+1-a+4}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{a+3\sqrt{a}+2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\)

         \(=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\)

b) \(P=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}=\frac{\sqrt{a}-1+2}{\sqrt{a}-1}=1+\frac{2}{\sqrt{a}-1}\)

Vậy để P là số nguyên thì: \(\sqrt{a}-1\inƯ\left(2\right)\)

Mà Ư(2)={-1;1;2;-1}

=> \(\sqrt{a}-1\in\left\{1;-1;2;-2\right\}\)

Ta có bảng sau:

vậy a={0;4;9} thì P nguyên

Bài 2

  \(P=\frac{\sqrt{a+4\sqrt{a-4}}+\sqrt{a-4\sqrt{a-4}}}{\sqrt{1-\frac{8}{a}+\frac{16}{a^2}}}\)(ĐK:a\(\ge\)8)

      \(=\frac{\sqrt{\left(a-4\right)+4\sqrt{a-4}+4}+\sqrt{\left(a-4\right)-4\sqrt{a-4}+4}}{\sqrt{\left(1-\frac{4}{a}\right)^2}}\)

     \(=\frac{\sqrt{\left(\sqrt{a-4}+2\right)^2}+\sqrt{\left(\sqrt{a-4}-2\right)^2}}{1-\frac{4}{a}}\)

      \(=\sqrt{a-4}+2+\sqrt{a-4}-2:\frac{a-4}{a}\)

     \(=2\sqrt{a-4}\cdot\frac{a}{a-4}\)

     \(=\frac{2a}{\sqrt{a-4}}\)