số dư khi chia cho (x+1) là a+c-b

số dư khi chia cho x-1 là a+c+b

=> B=0

Gọi r là số dư 

Ta có: A(x)=B(x).(x+1)+r

          A(x)=C(x).(x-1)+r

=> A(1)=a+b+c=C(x).0+r=> a+b+c=r     (1)

    A(-1)=a-b+c =B(x).0+r=> a-b+c=r       (2)

lẤY (1)-(2) ta có: 2b=0=> b=0

Câu hỏi của Vinh Lê Thành - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath. Bạn tham khảo!

Gọi số dư của A khi chia cho (x-1) và (x+1) là d

Ta có :

A chia (x-1) dư d 

=>A(1)=d

=>a+b+c=d(*)

A chia (x+1) dư d

=>A(-1)=d

=>a-b+c=d(**)

Từ (*) và (**) ta có :

a+b+c = (a-b+c) 

=>b = -b

=>b-(-b) = 0

2b=0

b=0

Vậy b=0

Câu hỏi của Vinh Lê Thành - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath Bạn tham khảo nhé!

Vì \(f\left(x\right)⋮x-2;f\left(x\right):x^2-1\) dư 1\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\cdot\left(x-2\right)\\f\left(x\right)=q\left(x\right)\left(x^2-1\right)+x=q\left(x\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)+x\end{matrix}\right.\) 

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(1\right)=1\\f\left(-1\right)=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}32+4a+2b+c=0\\2+a+b+c=1\\2+a-b+c=-1\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2b+c=-32\left(1\right)\\a+b+c=-1\left(2\right)\\a-b+c=-3\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

 Trừ từng vế của (2) cho (3) ta được:

\(\Rightarrow2b=2\Rightarrow b=1\)

Thay b=1 vào lần lượt (1) ,(2),(3) ta được:

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+2+c=-32\\a+1+c=-1\\a-1+c=-3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\\a+c=-2\\a+c=-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4a+c=-34\left(4\right)\\a+c=-2\left(5\right)\end{matrix}\right.\)

Trừ từng vế của (4) cho (5) ta được:

\(\Rightarrow3a=-32\Rightarrow a=-\dfrac{32}{3}\Rightarrow c=-2+\dfrac{32}{3}=\dfrac{26}{3}\) Vậy...

Áp dụng phương pháp xét giá trị riêng vào bài toán

Ta có:\(A=ax^2+bx+c=\left(x-1\right).Q\left(x\right)+r\)

\(=\left(x+1\right).P\left(x\right)+r\)

Do đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt đặt \(x=1;x=-1\)

\(\Rightarrow a.1^2+b.1+c=\left(1-1\right).Q\left(x\right)+r\)hay \(a+b+c=r\)

Tương tự khi x = -1 thì \(a-b+c=r\)

\(\Rightarrow a+b+c=a-b+c\Rightarrow2b=0\Rightarrow b=0\)

2) Ta có đẳng thức sau: \(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc\)

 Chứng minh thì bạn chỉ cần bung 2 vế ra là được.

 \(\Rightarrow P=\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-2abc\)

 Do \(a+b+c⋮4\) nên ta chỉ cần chứng minh \(abc⋮2\) là xong. Thật vậy, nếu cả 3 số a, b,c đều không chia hết cho 2 thì \(a+b+c\) lẻ, vô lí vì \(a+b+c⋮4\). Do đó 1 trong 3 số a, b, c phải chia hết cho 2, suy ra \(abc⋮2\).

 Do đó \(P⋮4\)

\(f\left(x\right)=ax^3+bx+c\)

\(\hept{\begin{cases}f\left(-2\right)=0\\f\left(1\right)=1+5=6\\f\left(-1\right)=-1+5=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-8a-2b+c=0\\a+b+c=6\\-a-b+c=4\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=\frac{1}{2}\\c=5\end{cases}}\)