có làm thì mới có ăn

\(\widehat{ABC}=120^0\Rightarrow\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)

\(\Rightarrow\Delta ABD\) đều

Gọi E là trung điểm AD \(\Rightarrow\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\)

Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|^2=\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{4}{9}AB^2+\dfrac{16}{9}AD^2-\dfrac{16}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)

\(=\dfrac{4}{9}.4a^2+\dfrac{16}{9}4a^2-\dfrac{16}{9}.2a.2a.cos60^0=\dfrac{16}{3}a^2\)

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\)

\(AC=AB\sqrt{2}=2a\sqrt{2}\Rightarrow OA=\dfrac{1}{2}AC=a\sqrt{2}\)

\(SO=\sqrt{SA^2-OA^2}=\dfrac{a}{2}\)

O là trung điểm AC, M là trung điểm AB \(\Rightarrow OM\) là đường trung bình tam giác ABC

\(\Rightarrow OM||AB\Rightarrow OM\perp CD\)

Mà \(SO\perp CD\) (chóp đều) \(\Rightarrow CD\perp\left(SOM\right)\Rightarrow CD\perp SM\)

\(\left\{{}\begin{matrix}SO\perp\left(ABCD\right)\\SO\in\left(SBD\right)\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(SBD\right)\perp\left(ABCD\right)\)

\(SO\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow\) OD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

\(\Rightarrow\widehat{SDO}\) là góc giữa SD là (ABCD)

\(OD=OA=a\sqrt{2}\Rightarrow tan\widehat{SDO}=\dfrac{SO}{OD}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow\widehat{SDO}\approx19^028'\)

\(CD\perp\left(SOM\right)\) theo chứng minh từ câu b

Mà \(CD\in\left(SCD\right)\Rightarrow\left(SCD\right)\perp\left(SOM\right)\)

\(\Rightarrow\) Góc giữa (SOM) và (SCD) bằng 90 độ

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=\sqrt{AB^2+BM^2}=3\sqrt{5}\\DM=\sqrt{CD^2+CM^2}=3\sqrt{5}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) tam giác ADM cân tại M

Gọi F là trung điểm AD \(\Rightarrow ABMF\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow MF=AB=6\)

Theo tính chất trọng tâm: \(GF=\dfrac{1}{3}MF=2\)

\(DF=\dfrac{1}{2}AD=3\)

Đặt \(T=\left|\overrightarrow{GD}\right|=\left|\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{FD}\right|\)

\(\Rightarrow T^2=GF^2+FD^2+2\overrightarrow{GF}.\overrightarrow{DF}=GF^2+DF^2=2^2+3^2=13\) 

\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{GD}\right|=\sqrt{13}\)

Chọn D

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BC và C'D'.

Ta có  S ∆ O P N = 1 4 S ∆ B C D = 1 8 S A B C D = a 2 8 ⇒ V O P N . O ' M Q = a 3 8

mà

  V O O ' M N = V O P N . O ' M Q - V M . O P N - V N . O ' M Q = a 3 8 - 1 3 . a 3 8 - 1 3 . a 3 8 = a 3 24

a) Theo giả thiết, S.ABCD là hình chóp đều và đáy ABCD là hình vuông nên SO ⊥ (ABCD) ( tính chất hình chóp đều)

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên

=> Góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) là 45 o

Có : AC vuông góc với BD (hình vuông ABCD)

       SA vuông góc với BD ( do SA vuông góc với mp ABCD)

=> BD vuông góc với mp SAC...