\(\hept{\begin{cases}x=\frac{18}{5}\\y=\frac{7}{20}\end{cases}}\)

\(-x^2+4xy-5y^2-8y-18\)

\(=-\left(x^2-4xy+4y\right)-\left(y^2+8y+16\right)-2\)

\(=-\left(x+2y\right)^2-\left(y+4\right)^2-2\)

Vì \(-\left(x+2y\right)^2\le0;-\left(y+4\right)^2\le\forall x;y\)

\(\Rightarrow-\left(x+2y\right)^2-\left(y+4\right)^2-2< 0\forall x;y\)

\(\Rightarrow dpcm\)

a) \(-x^2+4xy-5y^2-8y-18=-\left(x^2-4xy+5y^2+8y+18\right)\)

\(=-\left[\left(x^2-4xy+4y^2\right)+\left(y^2+8y+16\right)+2\right]\)

\(=-\left[\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2\right]\)

Vì \(\left(x-2y\right)^2\ge0\forall x,y\); \(\left(y+4\right)^2\ge0\forall y\); \(2>0\)

\(\Rightarrow\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2>0\)

\(\Rightarrow-\left[\left(x-2y\right)^2+\left(y+4\right)^2+2\right]< 0\)

\(\Rightarrow-x^2+4xy-5y^2-8y-18\)luôn âm với mọi x ( đpcm )

\(M=x^2+5y^2-4xy+2x-8y+2021\)

\(=\left(x^2-4xy+4y^2\right)+2\left(x-2y\right)+1+\left(y^2-4y+4\right)+2016\)

\(=\left(x-2y+1\right)^2+\left(y-2\right)^2+2016\ge2016\)

Vậy GTNN của M là 2016 đạt đươc tại \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}\)

a) x² + 2y² - 2xy + 8y + 7
= x² - 2xy + y² + y² + 8y + 16 - 9
= (x - y)² + (y + 4)² - 9
GTNN của biểu thức trên là -9

b) 5x² + y² + 2xy - 12x - 18
= x² + 2xy + y² + 4x² - 12x + 9 - 27
= (x + y)² + (2x - 3)² - 27
GTNN của biểu thức trên là -27

c) 3x² + 4y² + 4xy + 2x - 4y + 26
= 2x² + 4xy + 2y² + x² + 2x + 1 + 2y² - 4y + 2 + 23
= (\(\sqrt{2}\)x + \(\sqrt{2}\)y)² + (x + 1)² + 23
GTNN của biểu thức trên là 23

Câu d mình ko biết làm

d) D= 5x^2+9y^2-12xy+24x-48y+82

\(=4x^2+9y^2+64-12xy+32x-48y+x^2-8x+16+2\)

\(=\left[\left(2x\right)^2+\left(3y\right)^2+8^2-2.2x.3y+2.2x.8-2.3y.8\right]+\left(x^2-2.x.4+4^2\right)+2\)

\(=\left(2x-3y+8\right)^2+\left(x-4\right)^2+2\ge2\)

Vậy GTNN của D là 2 tại \(\hept{\begin{cases}\left(2x-3y+8\right)^2=0\\\left(x-4\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x-3y+8=0\\x-4=0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=4\\y=\frac{16}{3}\end{cases}}}\)

a) Đặt \(A=x^2-2x+1\)

    Ta có: \(A=x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\)

     Vì \(\left(x-1\right)^2\ge0\forall x\)

    \(\Rightarrow A_{min}=0\)

    Dấu "=" xảy ra khi: \(x-1=0\)

                            \(\Leftrightarrow x=1\)

Vậy \(A_{min}=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x=1\)

b) Ta có: \(M=x^2-3x+10\)

        \(\Leftrightarrow M=\left(x^2-3x+\frac{9}{4}\right)+\frac{31}{4}\)

        \(\Leftrightarrow M=\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{31}{4}\)

    Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow\)\(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{31}{4}\ge\frac{31}{4}\forall x\)

     \(\Rightarrow\)\(M_{min}=\frac{31}{4}\)

    Dấu "=" xảy ra khi: \(x-\frac{3}{2}=0\)

                            \(\Leftrightarrow x=\frac{3}{2}\)

Vậy \(M_{min}=\frac{31}{4}\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\frac{3}{2}\)

Mình đặt A, B, C cho dễ nhìn nhé ;-;

a) A = x² - 2x + 1 = ( x - 1 )² ≥ 0 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 1 = 0 => x = 1

=> MinA = 0 <=> x = 1

b) B = x² - 3x + 10 = ( x² - 3x + 9/4 ) + 31/4 = ( x - 3/2 )² + 31/4 ≥ 31/4 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x - 3/2 = 0 => x = 3/2

=> MinB = 31/4 <=> x = 3/2

c) C = ( x - 3 )( x + 5 ) + 4

= x² + 2x - 15 + 4

= ( x² + 2x + 1 ) - 12

= ( x + 1 )² - 12 ≥ -12 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 1 = 0 => x = -1

=> MinC = -12 <=> x = -1

d) D = x² - 4x + y² - 8y + 6

= ( x² - 4x + 4 ) + ( y² - 8y + 16 ) - 14

= ( x - 2 )² + ( y - 4 )² - 14 ≥ -14 ∀ x, y

Đẳng thức xảy ra <=> x = 2 ; y = 4

=> MinD = -14 <=> x = 2 ; y = 4

e) E =  3x² + 2x + 1

= 3( x² + 2/3x + 1/9 ) + 2/3

= 3( x + 1/3 )² + 2/3 ≥ 2/3 ∀ x

Đẳng thức xảy ra <=> x + 1/3 = 0 => x = -1/3

=> MinE = 2/3 <=> x = -1/3

A= (x²+4y²+9/4+4xy+3x+3y) + (y²+5x+95/4)

  = (x+2y+3/2)² + (y+5/2)² + 15

=> A min = 15

Dấu "=" xảy ra khi y=-5/2 ; x=7/2

\(A=x^2+5y^2+4xy+3x+8y+26\)

\(=\left(x^2+4xy+4y^2\right)+\left(3x+6y\right)+\frac{9}{4}+\left(y^2+2y+1\right)+\frac{91}{4}\)

\(=\left(x+2y\right)^2+3\left(x+2y\right)+\frac{9}{4}+\left(y+1\right)^2+\frac{91}{4}\)

\(=\left(x+2y+\frac{3}{2}\right)^2+\left(y+1\right)^2+\frac{91}{4}\ge\frac{91}{4}\forall x,y\)

Dấu"="xảy ra khi \(\orbr{\begin{cases}x+2y+\frac{3}{2}=0\\y+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x+2y=-\frac{3}{2}\\y=-1\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-1\end{cases}}}\)

Vậy .....