Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài

Những câu hỏi liên quan
Nguyễn Văn Duy
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thanh Trúc
22 tháng 1 2017 lúc 6:10

Theo bất đẳng thức Cô-sy ta được:

\(a+b+c\ge3^3\sqrt{abc}\)(1)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3^3\sqrt{\frac{1}{abc}}\)(2)

Nhân (1) (2) vế heo vế ta được

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Phan Thành Tiến
30 tháng 3 2018 lúc 19:12

biến đổi cách này dễ hiểu hơn nề:))

vì a+b+c=1 nên

\(\frac{1}{a}\)=\(\frac{a+b+c}{a}\)= 1+ \(\frac{b}{a}\)+\(\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}\)=\(\frac{a+b+c}{b}\)= 1+ \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}\)=\(\frac{a+b+c}{c}\)= 1+ \(\frac{a}{c}\)+\(\frac{b}{c}\)

ta có \(\frac{1}{a}\)+\(\frac{1}{b}\)+\(\frac{1}{c}\)= 1+1+1+(\(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\))+(\(\frac{a}{c}\)+\(\frac{c}{a}\))+(\(\frac{b}{c}\)+\(\frac{c}{b}\))

ta lại có \(\frac{a}{b}\)+\(\frac{b}{a}\)\(\ge\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2+b^2}{ab}\)\(\ge\)2\(\Leftrightarrow\)\(a^2\)+\(b^2\)\(\ge\)2ab \(\Leftrightarrow\)(a-b)^2\(\ge\)0      luôn đúng

tương tự ta có a/c+c/a >= 2 và b/c+c/b >= 2

vậy 1/a+1/b+1/c>=9

Xem chi tiết
Pham Van Hung
17 tháng 2 2019 lúc 23:13

\(\frac{1}{a}=\frac{a+b+c}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\)

\(\frac{1}{b}=\frac{a+b+c}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\)

\(\frac{1}{c}=\frac{a+b+c}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge3+2+2+2=9\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

tth_new
18 tháng 2 2019 lúc 9:11

Áp dụng BĐT AM-GM (Cô si) cho hai số dương,ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}=9^{\left(đpcm\right)}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=1\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Ut02_huong
Xem chi tiết
Phạm Thế Mạnh
17 tháng 12 2015 lúc 23:07

vì a+b+c =1 nên ta đi cm \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (BĐT Cô si)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) ( BĐT Cô si)
Nhân vế với vế -> đpcm

Nguyễn Nhật Minh
17 tháng 12 2015 lúc 23:11

\(\frac{1^2}{a}+\frac{1^2}{b}+\frac{1^2}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=9\)

Ut02_huong
17 tháng 12 2015 lúc 23:30

Có thể làm đơn giản hơn đc không #Mạnh ?? bọn tớ chưa học về BĐT Cô si T.T

 

Kiều Oanh
Xem chi tiết
Nguyễn Quốc Khánh
19 tháng 12 2015 lúc 22:28

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Dấu = xảy ra <=>x=y=z=1/3

Giáp Ánh
2 tháng 11 2016 lúc 22:08

Nếu  là số có 1 chữ số thì biểu thức  có giá trị lớn nhất là 

Bùi Mạnh Hùng
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Bảo Nhi
31 tháng 3 2020 lúc 15:45

Từ : \(a+b+c=1\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}=1+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\\\frac{1}{b}=1+\frac{a}{b}+\frac{c}{b}\\\frac{1}{c}=1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\)

\(\ge3+2+2+2=9\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Khách vãng lai đã xóa
zZz Cool Kid_new zZz
31 tháng 3 2020 lúc 16:45

Bổ sung a,b,c dương vào đê

Cách 1:

Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)

Ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Dấu "=" xảy ra tại a=b=c=1/3 

Cách 2:

Áp dụng BĐT Cô si ta có:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}\cdot3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)

Mà \(a+b+c=1\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)

Cách 3:

Xét:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

\(\ge3+2\sqrt{\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{b}}+2\sqrt{\frac{c}{a}\cdot\frac{a}{c}}\)

\(=3+2+2+2\)

\(=9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) vì a+b+c=1

Khách vãng lai đã xóa
Cherry Blossom
Xem chi tiết
ctk_new
20 tháng 9 2019 lúc 20:09

Áp dụng BĐT AM - GM cho 3 số không âm, ta được:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\left(đpcm\right)\)( Vì a + b + c = 1)

zZz Cool Kid_new zZz
20 tháng 9 2019 lúc 20:12

Áp dụng BĐT sờ vác sơ ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=9\)

Việt Nguyễn
Xem chi tiết
pham hong thai
25 tháng 3 2016 lúc 12:09

mình mới học lớp 6 thôi

vương nguyên
25 tháng 3 2016 lúc 12:13

xin lỗi mình ko biết bài này

Nguyễn Bảo Hân
Xem chi tiết
alibaba nguyễn
13 tháng 10 2016 lúc 11:21

Ta có \(1=a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\)

Theo đề bài ta có

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{ab+bc+ca}{abc}\)

\(\ge\frac{3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}{abc}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge9\)

titanic
Xem chi tiết
ngonhuminh
19 tháng 4 2017 lúc 14:32

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)}=\frac{9}{1}=9\\ \)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)Hết => không điểm => DBNT 

Ngu Ngu Ngu
22 tháng 4 2017 lúc 21:42

Bài làm của bạn kia chưa chặt chẽ! Mà cho mình hỏi DBNT là gì vậy? :)

Giải:

Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số dương:

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)

Nhân theo vế 2 BĐT trên ta được:

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}=\frac{9}{1}=9\)

Vậy \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\) (Đpcm)

\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

\(=3+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{b}{c}+\frac{c}{b}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\)

\(=3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\)

Áp dụng BĐT Cô si với mọi số nguyên dương 

\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right),\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right),\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge2\)

\(\Rightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge9\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)

Mà a + b + c = 1 

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)