Lời giải:

1.

Gọi số chính phương có tận cùng là $5$ là $a^2$. Khi đó $a$ cũng phải có tận cùng là $5$

Đặt \(a=\overline{A5}\)

\(\Leftrightarrow a^2=(\overline{A5})^2=(10A+5)^2=100A^2+100A+25\)

\(\Rightarrow a^2\) chia $100$ dư $25$ nên $a^2$ có tận cùng là $25$ hay chữ số hàng chục là $2$

--------------------

2.

Giả sử tồn tại số chính phương $a^2$ có tận cùng là $6$ và chữ số hàng chục là số chẵn.

Khi đó, $a^2$ có thể có tận cùng là $06,26,46,...,86$ $\rightarrow a^2$ không chia hết cho $4$ (1)

Mà $a^2$ có tận cùng bằng $6$ $\rightarrow a^2$ là scp chẵn, $\rightarrow a$ chẵn, $\rightarrow a.a=a^2$ chia hết cho $4$ (mâu thuẫn với (1))

Do đó không tồn tại số cp có tận cùng bằng $6$ mà chữ số hàng chục chẵn. Hay 1 số cp có tận cùng là 6 thì chữ số hàng chục là lẻ.

3.

Giả sử tồn tại số chính phương $a^2$ có tận cùng là $4$ mà chữ số hàng chục lẻ.

Khi đó $a^2$ có thể có tận cùng $14,34,...,94$. Những số trên đều không chia hết cho $4$ nên $a^2$ không chia hết cho $4$ (1)

Mà $a^2$ tận cùng là $4$ nên $a^2$ là scp chẵn. Do đó $a$ chẵn hay $a\vdots 2$

$\rightarrow a^2=a.a\vdots 4$ (mâu thuẫn với (1))

Do đó không tồn tại scp có tận cùng bằng 4 mà chữ số hàng chục lẻ. Hay một số cp có tận cùng là 4 thì chữ số hàng hàng chục là số chẵn.

-----------------

4.

Gọi $a^2$ là scp có tận cùng $n$ chữ số $0$. Khi đó $a$ cũng phải có tận cùng bẳng $0$

Đặt \(a^2=(\overline{A0...0})^2\) ($n$ chữ số 0)

\(=(10^nA)^2=10^{2n}A^2=A^2.10...0\) ($n$ chữ số 0)

Hay $a^2$ có tận cùng là $2n$ chữ số $0$. $2n$ là số chẵn nên $a^2$ có lượng chẵn chữ số 0 tận cùng (đpcm)

Gọi số chính phương có chữ số tận cùng bằng 4 là Aa4 ( A là số chỉ trăm, a là chữ số hàng chục )

Đặt Aa4 = k²

Vì Aa4 chia hết cho 2 nên k² chai hết cho 2 => k chia hết cho 2

                                                                      => k² chia hết cho 2² hay k² chia hế cho 4

=> Aa4 chia hết cho 4

    ( A . 100 + a4 )chia hết cho 4

Vì A.100 chai hết cho 4 => a4  chia hết cho 4

=> a thuộc {0;2;4;6;8} hay a là số chẵn

Mà a là chữ số hàng chục

=> ĐPCM

Với 1 và 9 làm tương tự

_HT_

Nếu n tận cùng bằng chữ số lẻ khác 5 thì n^4 tận cùng bằng 1. Nếu n tận cùng bằng chữ số chẵn khác 0 thì n^4 tận cùng bằng 6

mk đánh nhầm 

a) Xét hiệu 6n - n = 5n chia hết cho 10 (Do n chẵn) nên 6n và n có cùng chữ số tận cùng.

b) Xét n tận cùng 1, 3, 7, 9 ta thấy n⁴ đều tận cùng là 1.

Xét n tận cùng 2, 4, 6, 8 ta thấy n⁴ đều tận cùng là 6.

c) Tương tự

(Vì mấy bài này của lớp 6 nên mình không thể dùng cách ptđttnt được)