Giả sử :

\(x\le y\)(1)

=> \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{2}{y}\)

=> \(\frac{2}{3}\ge\frac{2}{y}\)

=> \(\frac{1}{3}\ge\frac{1}{y}\Rightarrow3\ge y\)(2)

Lại có :

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{2}{x}\)

=> \(\frac{2}{3}\le\frac{2}{x}\Rightarrow3\le x\)(3)

Từ (1) , (2) , (3) 

=> \(3\le x\le y\le3\)

=> x = y = 3

Áp dụng bất đẳng thức cho ba số  \(x,y,z\in Z^+\), ta được
\(x^2+y^2\ge2xy\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}\le\frac{x+y}{2xy}\)  \(\left(1\right)\)

\(y^2+z^2\ge2yz\)   \(\Rightarrow\)  \(\frac{y+z}{y^2+z^2}\le\frac{y+z}{2yz}\)  \(\left(2\right)\)

\(z^2+x^2\ge2xz\)  \(\Rightarrow\)  \(\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{z+x}{2xz}\)  \(\left(3\right)\)

Cộng từng vế của  \(\left(1\right);\)  \(\left(2\right)\)  và  \(\left(3\right)\)  ta được  \(\frac{x+y}{x^2+y^2}+\frac{y+z}{y^2+z^2}+\frac{z+x}{z^2+x^2}\le\frac{x+y}{2xy}+\frac{y+z}{2yz}+\frac{z+x}{2xz}=\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{2z}\)

\(\Leftrightarrow\)  \(P\le\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2015\)

Dấu  \("="\)  xảy ra  khi và chỉ khi  \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vậy,  \(P_{max}=2015\)  \(\Leftrightarrow\)   \(x=y=z=\frac{3}{2015}\)

Vì 14 ⋮ 2 => 2x + 3y ⋮ 2

Mà 2x ⋮ 2 => 3y ⋮ 2 

Mà ( 2; 3) = 1 => y ⋮ 2

2x + 3y = 14 => 3y ≤ 14

=> y ≤ 14 / 3 => y ≤ 4 => y = 2 ; 4

Với y = 2 <=> 2x + 6 = 14 => 2x = 8 => x = 4

Với y = 4 <=> 2x + 12 = 14 => 2x = 2 => x = 1

Vậy ( x;y ) = { ( 4;2 ) ; ( 1 ; 4 ) }

cam on