Bài 1: Gọi hai số lẻ liên tiếp là $2k+1$ và $2k+3$ với $k$ tự nhiên.

Gọi $d=ƯCLN(2k+1, 2k+3)$

$\Rightarrow 2k+1\vdots d; 2k+3\vdots d$

$\Rightarrow (2k+3)-(2k+1)\vdots d$

$\Rightarrow 2\vdots d\Rightarrow d=1$ hoặc $d=2$

Nếu $d=2$ thì $2k+1\vdots 2$ (vô lý vì $2k+1$ là số lẻ)

$\Rightarrow d=1$

Vậy $2k+1,2k+3$ nguyên tố cùng nhau. 

Ta có đpcm.

Bài 2:

a. Gọi $d=ƯCLN(n+1, n+2)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; n+2\vdots d$

$\Rightarrow (n+2)-(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $(n+1, n+2)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau. 

b.

Gọi $d=ƯCLN(2n+2, 2n+3)$

$\Rightarrow 2n+2\vdots d; 2n+3\vdots d$

$\Rightarrow (2n+3)-(2n+2)\vdots d$ hay $1\vdots d$
$\Rightarrow d=1$.

Vậy $(2n+2, 2n+3)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Bài 2:

c.

Gọi $d=ƯCLN(2n+1, n+1)$

$\Rightarrow 2n+1\vdots d; n+1\vdots d$
$\Rightarrow 2(n+1)-(2n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $ƯCLN(2n+1, n+1)=1$ nên 2 số này nguyên tố cùng nhau.

d.

Gọi $d=ƯCLN(n+1, 3n+4)$

$\Rightarrow n+1\vdots d; 3n+4\vdots d$

$\Rightarrow 3n+4-3(n+1)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$
Vậy $ƯCLN(n+1, 3n+4)=1$

$\Rightarrow$ 2 số này nguyên tố cùng nhau.

Đặt ƯCLN(2n+1; 2n+3) = d

=> (2n + 3) - (2n + 1) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=> d \(\in\) Ư(2) = {1; 2}

Mà 2n + 1 và 2n + 3 là hai số lẻ nên ước chung lớn nhất của chúng ko thể là 2.

Vậy d = 1 nên 2n + 1 và 2n + 3 nguyên tố cùng nhau 

Lời giải:

Gọi $d$ là ƯCLN của $2n+1$ và $2n+2$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1\vdots d\\ 2n+2\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (2n+2)-(2n+1)\vdots d\) hay $1\vdots d$

$\Rightarrow d=1$

Vậy ƯCLN của $2n+1, 2n+2$ là $1$ nên $2n+1, 2n+2$ nguyên tố cùng nhau.

Goi UCLN(2n+3;2n+5)=d

Ta có:2n+3 chia hết cho d

         2n+5 chia hết cho d

=>(2n+5)-(2n+3) chia hết cho d

=>2 chia hết cho d

=>d\(\in\)U(2)={1,2}

Mà 2n+5:2n+3 không chia hết cho 2

=>d=1

Vậy ...............

Gọi d thuộc ƯC(2n+3,2n+5)

=>2n+3 chia hết cho d ; 2n+5 chia hết cho d

=>(2n+5)-(2n+3) chia hết cho d

=> 2 chia hết cho d

=>d thuộc Ư(2)={1;2}

Mà 2n+3 ko chia hết cho 2

=> d\(\ne\)2

=>d=1

Vậy 2n+3 và 2n+5 nguyên tố cùng nhau với mọi N(đpcm)

gọi ƯCLN của 2n+3 và 2n+5 là d 

=> 2n+3 chia hết cho d ; 2n+5 chia hết cho d 

=> 2n+3 - 2n+5 chia hết cho d= 2 chia hết cho d

=> d={1;2} mà 2n+3 chia hết cho 2 thì vô lí nên d=1

=> ƯCLN(2n+3 ; 2n+5)=1=> 2n+3 và 2n+5 là 2 số nguyên tố cùng nhau  

1. Vì p+3>2 =>p+3 là số lẻ =>p là số chẵn mà p là số nguyên tố =>p=2

2.Ta gọi ƯCLN(n+1;2n+3) là a với a là số tự nhiên

=>n+1;2n+3 chia hết cho a

=>2.(n+1);2n+3 chia hết cho a

=>2n+2;2n+3 chia hết cho a

=>(2n+3)-(2n+2) chia hết cho a

=>1 chia hết cho a

=>a=1

=>n+1 và 2n+3 là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi d là ƯCLN(2n+1;6n+5)

=>2n+1 chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>3(2n+1) chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>6n+3 chia hết cho d và 6n+5 chia hết cho d

=>(6n+5)-(6n+3) chia hết cho d

=>2 chia hết cho d =>ƯCLN(2n+1;6n+5) thuộc 1 hoặc 2

Nhưng loại 2 vì 2 số 2n+1 và 6n+5 là số lẻ nên không có ƯCLN là số chẳn => ƯCLN(2n+1;6n+5)=1 nên 2 số này là 2 số nguyên tố cùng nhau.

hai nguyên tố không bằng nhau được