Xét \(\Delta\) vuông BEM và \(\Delta\)vuông CFM ta có :

BM = CM

EMB = CMF ( đối đỉnh )

=> \(\Delta\)BEM = \(\Delta\)CFM ( cạnh huyền - góc nhọn )

=> BE = CF

a: Xét tứ giác AQHP có

AQ//HP

AP//HQ

=>AQHP là hình bình hành

Xet ΔAHQ và ΔHAP có

HA chung

HQ=AP

AQ=HP

=>ΔAHQ=ΔHAP

b: ΔFBC vuông tại F

mà FM là trung tuyến

nên FM=BC/2

ΔECB vuông tại E

mà EM là trung tuyến

nên EM=BC/2=FM

=>ΔMEF cân tại M

góc BFC=góc BEC=90 độ

=>BFEC nội tiếp

=>góc AEF=góc ABC

a) Ta có:

IE\(\perp\)AC  (I\(\in\)BE mà BE \(\perp\)AC)
MQ\(\perp\)AC (GT)

\(\Rightarrow\)IE // MQ

Lại có:

MI \(\perp\)BE (GT)

EQ\(\perp\) BE (E;Q\(\in\)AC ; BE\(\perp\)AC)

\(\Rightarrow\)MI // EQ

mà IE // MQ (CMT)

Vậy tứ giác MIEQ có các cạnh đối song song.

b) Vì: MI // EQ (CMT)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ACB}\)=\(\widehat{IMB}\) (Đồng vị)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (TG ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\)\(\widehat{ABC}=\widehat{IMB}\)

Xét tg BKM vg tại K và tg MIB vg tại I

BM chung

\(\widehat{ABC}=\widehat{IMB}\)(CMT)

Vậy: TG BKM=TG MIB (CH-GN)

c) Vì: TG BKM=TG MIB (CMT)

\(\Rightarrow\)MK=BI ( CTỨ)

Xét tg IEM vg tại I và tg QME vg tại Q:

EM chung

\(\widehat{IEM}=\widehat{EMQ}\)(Soletrong do IE // MQ)

Vậy TG IEM= TG QME (CH-GN)

\(\Rightarrow\)MQ=IE (CTỨ)

Ta có: BE= BI + IE (B,I,E thẳng hàng)

mà\(\hept{\begin{cases}BI=MI\left(CMT\right)\\IE=MQ\left(CMT\right)\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\)BE=MK+MQ

Theo tính chất quen thuộc, O là tâm của (AEF).

Mặt khác, ta lại có \(\widehat{BIC}=90^o+\dfrac{\widehat{BAC}}{2}=135^o\) nên \(\widehat{BIF}=45^o\). Lại có \(\widehat{BAI}=45^o\) nên \(\Delta BIF~\Delta BAI\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\dfrac{BI}{BA}=\dfrac{BF}{BI}\Rightarrow BI^2=BA.BF\) \(\Rightarrow P_{B/\left(O\right)}=P_{B/\left(I;0\right)}\) 

 \(\Rightarrow\) B nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0). 

 Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được C nằm trên trục đẳng phương của (O) và (I;0). Từ đó suy ra BC là trục đẳng phương của (O) và (I;0) \(\Rightarrow BC\perp OI\) (đpcm)

mọi người giải gấp giúp em ạ

a: Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có

góc EAB chung

=>ΔAEB đồng dạng với ΔAFC

=>AE/AF=AB/AC

=>AE/AB=AF/AC

Xét ΔAEF và ΔABC có

AE/AB=AF/AC

góc FAE chung

Do đó: ΔAEF đồng dạng với ΔABC

=>góc AEF=góc ABC

b: Kẻ HM//AB(M thuộc AC)

HN//AC(N thuộc AB)

Xét tứ giác AMHN có

AM//HN

AN//HM

Do đó: AMHN là hình bình hành

=>AM=HN; AN=HM

ΔAHM có AH<AM+MH

=>AH<AM+AN

HN//AC

mà BH vuông góc AC

nên HB vuông góc HN

ΔHBN vuông tại H

=>HB<BN

HM//AB

CH vuông góc AB

Do đó: HC vuông góc HM

=>ΔHCM vuông tại H

=>HC<MC

AH<AM+AN

HB<BN

HC<MC

=>HA+HB+HC<AM+AN+BN+MC=AC+AB

Chứng minh tương tự, ta được:
HA+HB+HC<AB+BC và HA+HB+HC<AC+BC

=>3*(HA+HB+HC)<2(BA+BC+AC)

=>HA+HB+HC<2/3*(BA+BC+AC)

a: Xet ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có

AB=AC
\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF

b: Xét ΔAFM vuông tại F và ΔAEM vuông tại E có

AM chung

AF=AE

Do đó: ΔAFM=ΔAEM

Suy ra: \(\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\)

hay AM là tia phân giác của góc BAC