a, Dễ thấy 31 có chữ số tận cùng là 1, nên theo tính chất 1 thì  31 2  có chữ số tận cùng là 1.

Vậy  31 2 có chữ số tận cùng là 1

b, Ta có: 9 = 4.2 + 1

Suy ra: 582 9 = 582 4 . 2 + 1 = 582 4 . 2 . 582 .

Do 582 có chữ số tận cùng là 2, theo tính chất 4 thì 582 4 . 2 sẽ có chữ số tận cùng là 6 nên 582 9 = 582 4 . 2 . 582  có chữ số tận cùng là 2.

Vậy  582 9 có chữ số tận cùng là 2

c, Ta có : 2018 = 4.504+2.

Suy ra : 2 2018 = 2 4 . 504 + 2 = 2 4 . 504 . 2 2 = 2 4 . 504 . 4

Theo tính chất 4 thì 2 4 . 504 có chữ số tận cùng là 6 nên 2 2018 = 2 4 . 504 . 4  có chữ số tận cùng là 4.

Vậy  2 2018  có chữ số tận cùng là 4

d, Ta có : 1999 = 4.499+3.

Suy ra :   7 1999 = 7 4 . 499 + 3 .

Theo tính chất 7 thì  7 1999 = 7 4 . 499 + 3  sẽ có chữ số tận cùng là 3

Vậy  7 1999  có chữ số tận cùng là 3

Bài 2 :

a) \(2^a+154=5^b\left(a;b\inℕ\right)\)

-Ta thấy,chữ số tận cùng của \(5^b\) luôn luôn là chữ số \(5\)

\(\Rightarrow2^a+154\) có chữ số tận cùng là \(5\)

\(\Rightarrow2^a\) có chữ số tận cùng là \(1\) (Vô lý, vì lũy thừa của 2 là số chẵn)

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\varnothing\)

b) \(10^a+168=b^2\left(a;b\inℕ\right)\)

Ta thấy \(10^a\) có chữ số tận cùng là số \(0\)

\(\Rightarrow10^a+168\) có chữ số tận cùng là số \(8\)

mà \(b^2\) là số chính phương (không có chữ số tận cùng là \(8\))

\(\Rightarrow\left(a;b\right)\in\varnothing\)

Bài 3 :

a) \(M=19^k+5^k+1995^k+1996^k\left(với.k.chẵn\right)\)

Ta thấy :

\(5^k;1995^k\) có chữ số tận cùng là \(5\) (vì 2 số này có tận cùng là \(5\))

\(\Rightarrow5^k+1995^k\) có chữ số tận cùng là \(0\)

mà \(1996^k\) có chữ số tận cùng là \(6\) (ví số này có tận cùng là số \(6\))

\(\Rightarrow5^k+1995^k+1996^k\) có chữ số tận cùng là chữ số \(6\)

mà \(19^k\left(k.chẵn\right)\) có chữ số tận cùng là số \(1\)

\(\Rightarrow M=19^k+5^k+1995^k+1996^k\) có chữ số tận cùng là số \(7\)

\(\Rightarrow M\) không thể là số chính phương.

b) \(N=2004^{2004k}+2003\)

Ta thấy :

\(2004k=4.501k⋮4\)

mà \(2004\) có chữ số tận cùng là \(4\)

\(\Rightarrow2004^{2004k}\) có chữ số tận cùng là \(6\)

\(\Rightarrow N=2004^{2004k}+2003\) có chữ số tận cùng là \(9\)

\(\Rightarrow N\) có thể là số chính phương (nên câu này bạn xem lại đề bài)

Bài 4 :

a) \(5^5-5^4+5^3\)

\(=5^3.\left(5^2-5-1\right)\)

\(=5^3.19\) không chia hết cho 7 (bạn xem lại đề)

b) \(7^6+7^5-7^4\)

\(=7^4.\left(7^2+7-1\right)\)

\(=7^4.\left(49+7-1\right)\)

\(=7^4.55=7^4.11.5⋮11\)

\(\Rightarrow dpcm\)

c) \(1+2+2^2+2^3+...+2^{119}\)

\(=\left(1+2+2^2\right)+2^3\left(1+2+2^2\right)+...+2^{117}\left(1+2+2^2\right)\)

\(=7+2^3.7+...+2^{117}.7\)

\(=7.\left(1+2^3+...+2^{117}\right)⋮7\)

\(\Rightarrow dpcm\)

e) \(3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n\)

\(=3^{n+2}+3^n-2^{n+2}-2^n\)

\(=3^n\left(3^2+1\right)-2^n\left(2^2+1\right)\)

\(=3^n.10-2^n.5\)

Ta thấy : \(3^n.10⋮10\)

Ta lại có : \(2^n\) có chữ số tận cùng là số chẵn

\(\Rightarrow2^n.5\) có chữ số tận cùng là số \(0\)

\(\Rightarrow2^n.5⋮10\)

Vậy \(3^n.10-2^n.5⋮10\left(dpcm\right)\)

312²⁰⁹ = 312²⁰⁸. 312 = (...6) . 312 = ...12

Vậy 2 chữ số tận cùng của số 312²⁰⁹ là 12

Có j ko hiểu thì hỏi lại nhá

Thanh you !

312⁴¹⁹ = 312⁴¹⁶⁺³ = 312^4.104+3 = ( 312⁴ )¹⁰⁴ . 312³ = ( ...6 )¹⁰⁴ . ( ...8 ) = ( ...6 ) . ( ...8 ) = ( ... 8 )

tính tổng các dãy sau :

A = 1 + 2 + 2²+…+ 2¹⁰⁰

         B = 3 – 3² + 3³ – …   – 3¹⁰⁰

Bài giải:

                 A = 1 + 2 + 2² + …+ 2 ¹⁰⁰

Nhân a = 2 cho hai vế :

2A = 2 + 2² + 2³ + …+ 2¹⁰¹

             tính : 2A – A = (2 + 2² + 2³ + …+ 2¹⁰¹ ) – (1 +2 + 2²+ …+2¹⁰⁰)

Vậy     A = 2¹⁰¹ – 1

B = 3 – 3² + 3³ – … – 3¹⁰⁰

Nhân a = 3 cho hai vế : 3B = 3² – 3³ + 3⁴ – … –  3¹⁰¹

Tín : B + 3B = (3 – 3³ + 3³) – …- 3¹⁰⁰) + ( 3² – 2³ +3⁴ – … – 3¹⁰¹)

4B = 3 – 3¹⁰¹

Vậy     B = ( 3- 3¹⁰¹) : 4

TA CÓ 

312⁴¹⁹=312^4.104+3=...6 . ...8

312⁴¹⁹=...8

vậy chữ số tận cùng của 312⁴¹⁹=...8

Ta có:3³¹²=(3⁴)⁷⁸

=81⁷⁸

=............1 vì số có tận cùng là 1 mũ mấy cũng tận cùng là 1

Vậy chữ số tận cùng của:3³¹² là:1

Chữ số tận cùng 

\(3^{312}=\left(....9\right)\)

Ta có:

      3³¹² = (3⁴)⁷⁸

             =  (.....1)⁷⁸

                 =   (.......1)

Vậy có chữ số tận cùng là 1.

Xét tổng 100 + 101 +… + 999

Tổng này có 900 số gồm 450 cặp số có tổng bằng nhau (chẳng hạn 100 + 999 = 101 + 998 = 1099)

Nên tổng đó có tận cùng là chữ số 0 (tổng chia hết cho 450)