ta có : 

\(n^3+5n=n^2-n+6n\)

                \(=\left(n-1\right)n\left(n+1\right)+6n\)

mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮2;3\)

\(\Rightarrow\left(n-1\right)n.\left(n+1\right)⋮6\)

\(\Rightarrow6n⋮6\)

\(\Rightarrow n^3+5n⋮6\)

sorry mk nhầm ! 

chỗ : \(n^2-n+6n\)phải thành 

\(n^3-n+6n\)

\(n^3+5n=n.\left(n^2+5\right)=n.\left(n^2-1\right)+6n=n.\left(n-1\right).\left(n+1\right)+6n\)

\(\hept{\begin{cases}n.\left(n+1\right).\left(n-1\right)⋮2,3\text{ hay }n.\left(n+1\right).\left(n-1\right)⋮6\forall n\in Z\\6n⋮6\forall n\in Z\end{cases}}\)

=> đpcm

p/s: cách này có vẻ gọn hơn  =) 

\(A=n^3+3n^2+5n+3\)

\(=n^2\left(n+1\right)+2n\left(n+1\right)+3\left(n+1\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left(n^2+2n+3\right)\)

\(=\left(n+1\right)\left[n\left(n+2\right)+3\right]\)

\(=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+3\left(n+1\right)\)

Do n ; n + 1 ; n + 2 là 3 số nguyên dương liên tiếp

\(\Rightarrow n\left(n+1\right)\left(n+2\right)⋮3\)

\(\Rightarrow...+3\left(n+1\right)⋮3\)

hay \(A⋮3\left(đpcm\right)\)

\(A=n^3+3n^2+6n-\left(n+3\right)+6\)

\(=\left(n^2-1\right)\left(n+3\right)+6n+6\)

\(=\left(n-1\right)\left(n+1\right)\left(n+3\right)+6\left(n+1\right)\)

Có: \(n+3\equiv n\)(mod 3)

mà \(\left(n-1\right)n\left(n+1\right)⋮3\forall n\in Z^+\)

nên \(A⋮3\forall n\in Z^+\)

a) Do n, n + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp nên tích này chia hết cho 2.

Nếu \(n⋮3\Rightarrow\) tích trên chia hết cho 3. Do (2;3) = 1 nên tích trên chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 1 thì 2n chia 3 dư 2 hay 2n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Nếu n chia 3 dư 2 thì n + 1 chia hết cho 3. Vậy tích trên chia hết cho 3. Do đó nó cũng chia hết cho 6.

Tóm lại với mọi số tự nhiên n thì \(n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)⋮6\)

b. Ta đặt \(A=n^5-5n^3+4n=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n-2\right)\)

Đây là tích 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 và 5.

Trong 5 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra A chia hết cho 8.

Lại thấy (3; 5; ;8) = 1 nê A chia hết cho 3.5.8 = 120.

c) \(B=n^4+6n^3+11n^2+6n=n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\left(n+3\right)\)

B là tích bốn số tự nhiên liên tiếp nên chia hết 3.

Trong 4 số tự nhiên liên tiếp thì luôn có hai số chẵn liên tiếp. Tích hai số này lại chia hết cho 8, suy ra B chia hết cho 8.

Mà (3;8) = 1 nên B chia hết 3.8 = 24.

a) Ta có: \({a_{n + 1}} = 3\left( {n + 1} \right) + 1 = 3n + 3 + 1 = 3n + 4\)

Xét hiệu: \({a_{n + 1}} - {a_n} = \left( {3n + 4} \right) - \left( {3n + 1} \right) = 3n + 4 - 3n - 1 = 3 > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({a_{n + 1}} > {a_n}\).

a) Ta có: \({b_{n + 1}} =  - 5\left( {n + 1} \right) =  - 5n - 5\)

Xét hiệu: \({b_{n + 1}} - {b_n} = \left( { - 5n - 5} \right) - \left( { - 5n} \right) =  - 5n - 5 + 5n =  - 5 < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\)

Vậy \({b_{n + 1}} < {b_n}\).

\(n\left(n^2+1\right)\left(n^2+4\right)=n\left(n^2+1\right)\left(n^2-1\right)+5n\left(n^2+1\right)\)

\(=n\left(n^2-1\right)\left(n^2-4\right)+5n\left(n^2-1\right)+5n\left(n^2+1\right)\)

\(=\left(n-2\right)\left(n-1\right)n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+5n\left(n^2-1\right)+5n\left(n^2+1\right)\) chia hết cho 5

Bạn có thể giải cụ thể hơn dc ko?

sai đề rồi 5ⁿ-1 chia hết cho 4 (n thuộc N*)

th1: n=1=> 5ⁿ=5

=> 5ⁿ-1 =4 chia hết cho 4

th2: n>1=> 5ⁿ có hai chữ số tận cùng là 25

=> 5ⁿ-1 có CSTC là 24 chia hết cho 4

P/S ghi đề cẩn thận nha

sory mk thiếu 1 trường hợp 

TH3: n=0

=> 5ⁿ-1=0 chia hết cho 4

còn nữa đề là 5ⁿ-1chia hết cho 4(n thuộc N)

ko pk là n thuộc N* nha sorry mk làm lại hoàn chỉnh luôn nha

vì n thuộc N ta có:

TH1: n =0

=> 5ⁿ-1=0 chia hết cho 4

TH2: n=1

=> 5ⁿ-1 =4 chia hết cho 4

TH3: n>1=> 5ⁿ có CSTC là 24

=> 5ⁿ-1 có CSTC là 24 chia hết cho 4

vậy 5ⁿ-1 chia hết cho 4(n thuộc N)