cho a, b, c, d là những số nguyên chứng minh rằng nếu a-b chia hết cho c thì số nguyên t để a=b+ct và ngược lại
cho các biểu thức : A=11x+29y và B=2x-3y. Chứng minh rằng nếu x,y là số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A chia hết cho 13
A chia hết cho 13
A+B=11x+29y+2x-3y=13x-26y chia hết cho 13
=>B chia hết cho 13
B chia hết cho 13
A+B chia hết cho 13
=>A chia hết cho 13
cho a và b là các số nguyên ,hãy chứng minh rằng: nếu 2a+3b chia hết cho 17 thì 9a+5b chia hết cho 17 và ngược lại
a)cho a, b là các số nguyên, chứng minh rằng nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a^2 + b^2 chia hết cho 13
b) Cho a,b là các số nguyên . Chứng minh rằng nếu a chia cho 19 dư 3 , b chia cho 19 dư 2 thì a^2 + b^2 + ab chia hết cho 19
c) chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của chúng chia hết cho 3
Cho a và b là các số nguyên , hãy chứng minh rằng :
Nếu 2a+3b chia hết cho 17 thì 9a+5b chia hết cho 17 và ngược lại
xét hiệu : 5(2a+3b) - 3(9a+5b) = 10a+ 15b - 27a-15b
<=> 5(2a+3b) - 3(9a+5b) = -17a
vì -17 chia hết cho17 nên -17a chia hết cho 17
=> 5(2a+3b) - 3(9a+5b) chia hết cho 17 (1)
+) ta có: 2a + 3b chia hết cho 17
nên 5(2a+3b) chia hết cho 17 (2)
từ (1) và (2) => 3(9a+5b) chia hết cho 17
mà (3,17) = 1
=> 9a+5b chia hết cho 17
vậy nếu 2a+3b chia hết cho17 thì 9a+5b chia hết cho17
+) ngược lại ta có 9a+5b chia hết cho17
nên 3(9a+5b) chia hết cho17 (3)
từ (1) và (3) => 5(2a+3b) chia hết cho 17
mà (5,17)=1
=> 2a+3b chia hết cho 17
vậy nếu 9a+5b chia hết cho17 thì 2a+3b chia hết cho17
chứng tỏ nếu 2a+3b chia hết cho17 thì 9a+5b chia hết cho 17 và ngược lại
Xét tổng: 4(2a + 3b) + (9a + 5b) = 8a + 12b + 9a + 5b = 17a + 17b = 179a + b0 chia hết cho 17
=> 4(2a + 3b) + (9a + 5b) chia hết cho 17 (1)
+) Chứng minh theo chiều xuôi (tức là có 2a + 3b chia hết cho 17, cần chứng minh 9a + 5b chia hết cho 17)
Ta có: 2a + 3b chia hết cho 17 => 4(2a + 3b) chia hết cho 17, kết hợp vs (1) đc: 9a + 5b chia hết cho 17
+) Chứng minh theo chiều ngược (
tức là có 9a + 5b chia hết cho 17, cần chứng minh 2a + 3b chia hết cho 17)
Ta có: 9a + 5b chia hết cho 17, kết hợp vs (1) đc: 4(2a + 3b) chia hết cho 17, mà ƯCLN(4,17) = 1 => 2a + 3b chia hết cho 17
Vậy: Nếu 2a + 3b chia hết cho 17 thì 9a + 5b chia hết cho 17 và ngược lại
cho a,b là các số nguyên .Chứng minh 5a+2b chia hết 17 khi và chỉ khi 9a+7b chia hết 17
Cho , a b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 3a + 68b chia hết cho 17 thì a + 3b cũng chia hết cho 17. Điều ngược lại có đúng không?
Cho a,b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 6a+11b chia hết cho 31 thì thì a+7b cũng chia hết cho 31. Điều ngược lại có đúng ko?
gọi ab là xy
6x+11y chia hế
31y chia hết cho 31 ﴾vì 31y cũng chia hết cho 31﴿
=> 6x + 42y chia hết cho 31
=> 6﴾x+7y﴿ chia hết cho 31
Vì 6 và 31 nguyên tố cũng nhau nên
x+7y buộc phải chia hết cho 31 ﴾ĐPCM﴿
cho a,b là các số nguyên. Chứng minh rằng: 2a+3b chia hết cho 7 thì 8a+5b chia hết cho 7 và ngược lại
- Nếu \(2a+3b⋮7\Rightarrow4\left(2a+3b\right)⋮7\Rightarrow8a+12b⋮7\)
\(\Rightarrow8a+5b+7b⋮7\)
Mà \(7b⋮7\) với mọi b nguyên \(\Rightarrow8a+5b⋮7\)
- Nếu \(8a+5b⋮7\), do \(7b⋮7\Rightarrow8a+5b+7b⋮7\Rightarrow8a+12b⋮7\)
\(\Rightarrow4\left(2a+3b\right)⋮7\)
Mà 4 và 7 nguyên tố cùng nhau \(\Rightarrow2a+3b⋮7\)
Chứng minh rằng với mọi a, b, c và d là các số nguyên thì T = (a - b )(a - c)(a - d)(b - c)(b - d)(c - d) chia hết cho 12
1.Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn ab=cd.Chứng minh rằng \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số.
2.Cho các số tự nhiên a và b.Chứng minh rằng:
a, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 3 thì a và b chia hết cho 3.
b, Nếu\(a^2+b^2\)chia hết cho 7 thì a và b chia hết cho 7.
3.Cho các số nguyên a,b,c.Chứng minh rằng:
a, Nếu a+b+c chia hết cho 6 thì \(a^3+b^3+c^3\)chia hết cho 6.
b, Nếu a+b+c chia hết cho 30 thì \(a^5+b^5+c^5\)chia hết cho 30
1. Gọi ƯCLN (a,c) =k, ta có : a=ka1, c=kc1 và (a1,c1)=1
Thay vào ab=cd được ka1b=bc1d nên
a1b=c1d (1)
Ta có: a1b \(⋮\)c1 mà (a1,c1)=1 nên b\(⋮\)c1. Đặt b=c1m ( \(m\in N\)*) , thay vào (1) được a1c1m = c1d nên a1m=d
Do đó: \(a^5+b^5+c^5+d^5=k^5a_1^5+c_1^5m^5+k^5c_1^5+a_1^5m^5\)
\(=k^5\left(a_1^5+c_1^5\right)+m^5\left(a_1^5+c_1^5\right)=\left(a_1^5+c_1^5\right)\left(k^5+m^5\right)\)
Do a1, c1, k, m là các số nguyên dương nên \(a^5+b^5+c^5+d^5\)là hợp số (đpcm)
2. Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể sư 0 hoặc 1.
Ta có \(a^2+b^2⋮3\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1,1+1, chỉ có 0+0 \(⋮\)3.
Vậy \(a^2+b^2⋮3\)thì a và b \(⋮3\)
b) Nhận xét: 1 số chính phương khi chia cho 7 chỉ có thể dư 0,1,2,4 (thật vậy, xét a lần lượt bằng 7k, \(7k\pm1,7k\pm2,7k\pm3\)thì a2 chia cho 7 thứ tự dư 0,1,4,2)
Ta có: \(a^2+b^2⋮7\). Xét các TH của tổng 2 số dư : 0+0, 0+1, 0+2, 0+4 , 1+1, 1+2, 2+2, 1+4, 2+4, 4+4; chỉ có 0+0 \(⋮7\). Vậy......
3. a) Xét hiệu \(a^3-a=a\left(a^2-1\right)=\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮2.3=6\)( tích của 3 số nguyên liên tiếp)
Tương tự: \(b^3-b⋮6\)và \(c^3-c⋮6\)
\(\Rightarrow\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a+b+c\right)⋮6\Rightarrow a^3+b^3+c^3⋮6\Leftrightarrow a+b+c⋮6\)
b) Ta có: \(30=2.3.5\)và 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau.
Theo định lý Fermat: \(a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^4\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\Rightarrow a^5\equiv a^2\equiv a\left(mod2\right)\)
\(a^3\equiv a\left(mod3\right)\Rightarrow a^5\equiv a^3\equiv a\left(mod3\right)\)
\(a^5\equiv a\left(mod5\right)\)
Theo tính chất của phép đồng dư, ta có:
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod3\right)\)
\(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod5\right)\)
Do đó: \(a^5+b^5+c^5\equiv a+b+c\left(mod2.3.5\right)\). Tức là nếu a+b+c chia hết cho 30 thì ....(đpcm)