Cho \(\frac{x}{y}=\frac{y}{z}=\frac{z}{x}\) Chứng minh rằng \(x=y=z\)
Những câu hỏi liên quan
cho các số thực dương x,y,z. Chứng minh rằng \(\frac{x^2y\left(y-z\right)}{x+y}+\frac{y^2z\left(z-x\right)}{y+z}+\frac{z^2x\left(x-y\right)}{z+x}\ge0\)
Cho x, y, z,t > 0. Chứng minh rằng \(\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{y+z}{y+z+t}+\frac{z+t}{z+t+x}+\frac{t+x}{t+x+y}\)> 2
Ta có
\(\frac{x+y}{x+y+z}>\frac{x+y}{x+y+z+t};\frac{y+z}{y+z+t}>\frac{y+z}{x+y+z+t};\frac{z+t}{z+t+x}>\frac{z+t}{x+y+z+t};\frac{t+x}{t+x+y}>\frac{t+x}{x+y+z+t}\)
\(\Rightarrow LHS>2\) ( điều phải chứng minh )
Cho \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\) chứng minh rằng biểu thức P=\(\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)có giá trị nguyên
TH1 : \(x+y+z+t=0\)
=> \(x+y=-\left(z+t\right)\)
\(y+z=-\left(x+t\right)\)
\(z+t=-\left(x+y\right)\)
\(x+t=-\left(y+z\right)\)
\(\Rightarrow\frac{x+y}{z+t}=\frac{y+z}{t+x}=\frac{z+t}{x+y}=\frac{t+x}{y+z}=-1\)
\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}=-4\)
TH2 : \(x+y+z+t\ne0\)
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :
\(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)
\(=\frac{x+y+z+t}{3\left(x+y+z+t\right)}=3\)( do \(x+y+z+t\ne0\))
\(\Rightarrow x=3\left(y+z+t\right)\)
\(y=3\left(z+t+x\right)\)
\(z=3\left(t+x+y\right)\)
\(t=3\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\)\(4x=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(4y=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(4z=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(4t=3\left(x+y+z+t\right)\)
\(\Rightarrow\)\(4x=4y=4z=4t\)
\(\Rightarrow\)\(x=y=z=t\)
\(\Rightarrow P=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)\(=1+1+1+1\)\(=4\)
Vậy trong cả 2 trường hợp P đều có giá trị nguyên
Đúng 0
Bình luận (1)
Bài trên đúng rồi đó các bạn cho bn ý
Mà đây là Toán 7 thì đúng hơn
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho x,y,z>0. Chứng minh rằng:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{x+y+z}{2}\)
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Hoặc:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
cho x,y,z khác 0 và x+y+z=0
chứng minh rằng
\(\frac{x^2+y^2}{x+y}+\frac{y^2+z^2}{y+z}+\frac{x^2+z^2}{x+z}=\frac{x^3}{yz}+\frac{y^3}{xz}+\frac{z^3}{xy}\)
Ch x,y, z là các số dương. Chứng minh rằng: \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\)
23 tháng 11 2019 lúc 17:31
cho \(\frac{x}{y+z+t}=\frac{y}{z+t+x}=\frac{z}{t+x+y}=\frac{t}{x+y+z}\)chứng minh rằng biểu thức sau có giá trị nguyên :
\(A=\frac{x+y}{z+t}+\frac{y+z}{t+x}+\frac{z+t}{x+y}+\frac{t+x}{y+z}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}A=4\\A=-4\end{matrix}\right.\)
Vậy biểu thức A luôn có giá trị nguyên (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
Cho x , y , z > 0 . Chứng minh rằng : \(\frac{x^2-z^2}{y+z}+\frac{y^2-x^2}{z+x}+\frac{z^2-y^2}{x+y}\ge0\)
cho x,y,z là các số thực dương chứng minh rằng :
\(\frac{x^3}{y^2}+\frac{y^3}{z^2}+\frac{z^3}{x^2}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
\(\Sigma\frac{x^3}{y^2}=\Sigma\frac{x}{y^2}\left(x-y\right)^2+\frac{\Sigma z\left(x^3-yz^2\right)^2}{xyz\left(x+y+z\right)}+\Sigma\frac{x^2}{y}\ge\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}\)
\(VT-VP=\Sigma\frac{\left(x+y\right)\left(x-y\right)^2}{y^2}\ge0\)
Cho 3 số x,y,z >0 thỏa x+y+z=6 chứng minh rằng \(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge6\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
\(VT=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{6^2}{2\cdot6}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=2\)
p/s: Đề sai nha bạn. Dạng tổng quát của bài toán :
Cho \(a,b,c>0;a+b+c=p\). Chứng minh rằng :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{p}{2}\)
Đúng 0
Bình luận (0)