1.

$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$

$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$

$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)

$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$

Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$

2.

$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$

$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$

$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$

$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$

Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$

3.

Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$ 

$C=a^4+b^4$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$

$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$

$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$

$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$

Vậy $C_{\min}=1250$

Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$

(x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = (x -1)(x + 6) (x + 2)(x+3) = (x² + 5x - 6) (x² + 5x + 6)

đặt x² + 5x = t

thay vào được:  (t - 6) (t+ 6) = t² - 36

có: (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) = t² - 36 = (x² + 5x)² - 36

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là -36

(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) 
=[(x-1)(x+6)][(x+2)(x+3)] 
=(x^2+5x-6)(x^2+5x+6) 
=(x^2+5x)^2-36>=-36 
=>min=-36<=>x=0 hoặc x=-5

\(VìA=(x-1).(x+2).(x+3).(x+6)\)\(\Rightarrow\)\(A=x.(-1+2+3+6)\)\(\Rightarrow\)\(A=x.10\)

Vì A nhỏ nhất \(\Rightarrow\)A=0 mà A=x.10\(\Rightarrow\)0=x.10\(\Rightarrow\)x=0\(:\)10\(\Rightarrow\)x=0

\(Vậy\) \(A\) \(nhỏ\) \(nhất\) \(khi\) x=0

\(Vì\)\(A=\) \((x-1).(x+2).(x+3).(x+6)\)\(\Rightarrow\)\(A= \)\(x.(-1+2+3+6)\)\(\Rightarrow\)\(A=x.10\)

\(Vì\) \(A\)  \(nhỏ\)  \(nhất\)\(\Rightarrow\)\(A=\)0 \(mà\) \(A=x.10\) \(\Rightarrow\)\(x.10= 0\)\(\Rightarrow\)\(x=0:10\)\(\Rightarrow\)\(x=0\)

\(Vậy\) \(A \)  \(nhỏ\)  \(nhất\) \(khi\)  \(x=0\)

\(P=\left(x-1\right)\left(x+6\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

\(P=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(P=\left(x^2+5x\right)^2-36\)

\(P=\left[x\left(x+5\right)\right]^2-36\)

Vậy GTNN của P = -36 khi x = 0 hoặc -5.

\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x-6\right)\)

\(=\left[\left(x+1\right)\left(x-6\right)\right]\left[\left(x-2\right)\left(x-3\right)\right]\)

\(=\left(x^2+5x-6\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=\left(x^2+5x\right)^2-36\ge-36\)

\(\Rightarrow\text{MIN}_{-36}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-5\end{cases}}\)

Ta có : D = (x - 1).(x + 3).(x + 2).(x + 6)

=> D = [(x - 1)(x + 6)].[(x + 3).(x + 2)]

=> D = (x² + 5x - 6) . (x² + 5x + 6)

=> D = (x² + 5x)² - 36

=> D = [x(x + 5)]² - 36

Mà : [x(x + 5)]​²  \(\ge0\forall x\)

Suy ra : D = [x(x + 5)]​² - 36 \(\ge-36\forall x\)

Vậy D_min = -36 , dấu "=" xẩy ra khi và chỉ khi x = 0 hoặc -5