1.
$x(x+2)(x+4)(x+6)+8$
$=x(x+6)(x+2)(x+4)+8=(x^2+6x)(x^2+6x+8)+8$
$=a(a+8)+8$ (đặt $x^2+6x=a$)
$=a^2+8a+8=(a+4)^2-8=(x^2+6x+4)^2-8\geq -8$
Vậy $A_{\min}=-8$ khi $x^2+6x+4=0\Leftrightarrow x=-3\pm \sqrt{5}$
2.
$B=5+(1-x)(x+2)(x+3)(x+6)=5-(x-1)(x+6)(x+2)(x+3)$
$=5-(x^2+5x-6)(x^2+5x+6)$
$=5-[(x^2+5x)^2-6^2]$
$=41-(x^2+5x)^2\leq 41$
Vậy $B_{\max}=41$. Giá trị này đạt tại $x^2+5x=0\Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=-5$
3.
Đặt $x+3=a; 7-x=b$ thì $a+b=10$
$C=a^4+b^4$
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^4+b^4)(1+1)\geq (a^2+b^2)^2$
$\Rightarrow C\geq \frac{(a^2+b^2)^2}{2}$
$(a^2+b^2)(1+1)\geq (a+b)^2=100$
$\Rightarrow a^2+b^2\geq 50$
$\Rightarrow C\geq \frac{50^2}{2}=1250$
Vậy $C_{\min}=1250$
Giá trị này đạt tại $a=b=5\Leftrightarrow x=2$
4.
$P=\frac{4x^2+1}{2x}=2x+\frac{1}{2x}\geq 2\sqrt{2x.\frac{1}{2x}}=2$ theo BĐT AM-GM
Vậy $P_{\min}=2$. Giá trị này đạt tại $x=\frac{1}{2}$
3.
Đặt x+3=a;7−x=b thì a+b=10
C=a4+b4
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
(a4+b4)(1+1)≥(a2+b2)2
⇒C≥(a2+b2)22
(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2=100
⇒a2+b2≥50
⇒C≥5022=1250
Vậy Cmin=1250
Giá trị này đạt tại a=b=5⇔x=2
2.
B=5+(1−x)(x+2)(x+3)(x+6)=5−(x−1)(x+6)(x+2)(x+3)B=5+(1−x)(x+2)(x+3)(x+6)=5−(x−1)(x+6)(x+2)(x+3)
=5−(x2+5x−6)(x2+5x+6)=5−(x2+5x−6)(x2+5x+6)
=5−[(x2+5x)2−62]=5−[(x2+5x)2−62]
=41−(x2+5x)2≤41=41−(x2+5x)2≤41
Vậy Bmax=41Bmax=41. Giá trị này đạt tại x2+5x=0⇔x=0x2+5x=0⇔x=0 hoặc x=−5
1. x ( x + 2 ) ( x + 4 ) ( x + 6 ) + 8 = x ( x + 6 ) ( x + 2 ) ( x + 4 ) + 8 = ( x 2 + 6 x ) ( x 2 + 6 x + 8 ) + 8 = a ( a + 8 ) + 8 (đặt x 2 + 6 x = a ) = a 2 + 8 a + 8 = ( a + 4 ) 2 − 8 = ( x 2 + 6 x + 4 ) 2 − 8 ≥ − 8 Vậy A min = − 8 khi x 2 + 6 x + 4 = 0 ⇔ x = − 3 ± √ 5
4.
P=4x2+12x=2x+12x≥2√2x.12x=2 theo BĐT AM-GM
Vậy Pmin=2. Giá trị này đạt tại x=1/2