cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác , chứng minh rằng
\(\frac{a^2}{b+c-a}+\frac{b^2}{c+a-b}+\frac{c^2}{a+b-c}\ge a+b+c\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh rằng: \(2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+3\)
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge\frac{3}{2}\)
Bài 1 :
Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng :
\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{b+c-a}+\frac{ac}{a+c-b}\ge a+b+c\)
Bài 2 :
Cho a, b, c khác 0 thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=0\)
Rút gọn : \(Q=\frac{1}{a^2+2bc}+\frac{1}{b^2+2ac}+\frac{1}{c^2+2ab}\)
Bài 3 :
Chứng minh rằng với mọi a, b, c khác 0 ta luôn có :
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\ge\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+\frac{a}{c}\)
"Chấm" nhẹ hóng cao nhân ạ :)
P/s: mong các bác giải theo cách lớp 8 ạ :) Tặng 5SP / 1 câu nhé ;)
Câu 3: Tham khảo đây nhá: Câu hỏi của Trương Thanh Nhân, t làm r,giờ lười đánh lại.
tth, bài 3 làm thế chắc chết cauchy là ra thôi
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng:
a) abc\(\ge\)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)
b) a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)
c) \(\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
Cho a, b và c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng
\(\sqrt{\frac{a}{b+c-a}}+\sqrt{\frac{b}{c+a-b}}+\sqrt{\frac{c}{a+b-c}}\ge\sqrt{\frac{b+c-a}{a}}+\sqrt{\frac{c+a-b}{b}}+\sqrt{\frac{a+b-c}{c}}\)
a) 9x2 - 36
=(3x)2-62
=(3x-6)(3x+6)
=4(x-3)(x+3)
b) 2x3y-4x2y2+2xy3
=2xy(x2-2xy+y2)
=2xy(x-y)2
c) ab - b2-a+b
=ab-a-b2+b
=(ab-a)-(b2-b)
=a(b-1)-b(b-1)
=(b-1)(a-b)
P/s đùng để ý đến câu trả lời của mình
Cho độ dài 3 cạnh của một tam giác
Chứng minh rằng :\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{b+c-a+c+a-b}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{c+a-b}+\frac{1}{a+b-c}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{c+a-b+a+b-c}=\frac{2}{a}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{2}{b}\)
Cộng lại theo vế rồi chia cho 2, ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c
Bài làm:
Ta xét: \(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)(BĐT Cauchy dạng cộng mẫu)
Tương tự ta chứng minh được:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{a}\)và \(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{2}{c}\)
Cộng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
\(2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(a=b=c\)
Sa
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác.
Chứng minh rằng:
\(\left(\frac{2a+2b-c}{a+b+4c}\right)^3+\left(\frac{2b+2c-a}{b+c+4a}\right)^3+\left(\frac{2c+2a-b}{c+a+4b}\right)^3\ge\frac{9}{2}\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
Bài này không đúng nhé. Với a = b = c = 1 thì bất đẳng thức sai. Tuy nhiên bài này đúng theo chiều ngược lại.
Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ sau đây \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)
\(< =>2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(< =>2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2zx\ge0\)
\(< =>\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0\)*đúng*
Đặt \(\left\{2a+2b-c;2b+2c-a;2c+2a-b\right\}\rightarrow\left\{x;y;z\right\}\)
Vì a,b,c là ba cạnh của 1 tam giác nên x,y,z dương
Ta có : \(x^2+y^2+z^2=9\left(a^2+b^2+c^2\right)\)
\(x+y=c+a+4b\); \(y+z=a+b+4c\); \(z+x=b+c+4a\)
Bất đẳng thức cần chứng minh quy về : \(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có :
\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^3.x\left(y+z\right)}{\left(y+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{x^4}{4}}=2\frac{x^2}{2}=x^2\)
\(\frac{y^3}{x+z}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{y^3.y\left(x+z\right)}{\left(x+z\right)4}}=2\sqrt{\frac{y^4}{4}}=2\frac{y^2}{2}=y^2\)
\(\frac{z^3}{x+y}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{z^3.z\left(x+y\right)}{\left(x+y\right)4}}=2\sqrt{\frac{z^4}{4}}=2\frac{z^2}{2}=z^2\)
Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được :
\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{x\left(y+z\right)}{4}+\frac{y\left(x+z\right)}{4}+\frac{z\left(x+y\right)}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)
\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx+xy+yz+zx}{4}\ge x^2+y^2+z^2\)
\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}+\frac{xy+yz+zx}{2}\ge x^2+y^2+z^2\)
\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{x+y}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{xy+yz+zx}{2}\)
Sử dụng bất đẳng thức phụ \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\)khi đó ta được :
\(\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{x+z}+\frac{z^3}{y+x}\ge x^2+y^2+z^2-\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\)
\(< =>\frac{x^3}{y+z}+\frac{y^3}{z+x}+\frac{z^3}{x+y}\ge\frac{x^2+y^2+z^2}{2}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z< =>a=b=c\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Cho a;b;c là ba cạnh của một tam giác.
Chứng minh:\(\frac{ab}{a+b-c}+\frac{bc}{-a+b+c}+\frac{ac}{a-b+c}\ge a+b+c\)
Đặt a+b-c=x
-a+b+c=y
a-b+c=z
=> x+y+z=a+b+c
=>x+y=2b
y+z=2c
x+z=2a
nhân 4 cả hai vế rồi tách ra là đc nha bạn
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Đặt a+b‐c=x
‐a+b+c=y
a‐b+c=z
=> x+y+z=a+b+c
=>x+y=2b
y+z=2c
x+z=2a
nhân 4 cả hai vế rồi tách ra là đc nha bạn
Dấu ''='' xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
a) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh:
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
b) Chứng minh rằng nếu \(a^2+b^2=1\)và \(m^2+n^2=1\)thì \(\left|am+bn\right|\le1\)
a) Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có :
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}\ge\frac{4}{a+b-c+b+c-a}=\frac{4}{2b}=\frac{2}{b}\)
Tương tự :
\(\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{b+c-a+c+a-b}=\frac{4}{2c}=\frac{2}{c}\)
\(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{4}{a+b-c+c+a-b}=\frac{4}{2a}=\frac{2}{a}\)
Cộng theo vế :
\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\right)\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a+b-c}+\frac{1}{b+c-a}+\frac{1}{c+a-b}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\left(đpcm\right)\)
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c
b ) Dùng BĐT Bunhiacopski
Sử dụng BĐT Bunhiacopski ta có được:
\(1=\left(a^2+b^2\right)\left(m^2+n^2\right)\ge\left(am+bn\right)^2\)
\(\Rightarrow\left|am+bn\right|\le1\)
Ta có đpcm