2xyz=x+y+z+9

=>2=1/yz+1/xz+1/xy+9/xyz

 nếu x>=y>=z>=1

=>2=< (1/z^2)+(1/z^2)+(1/z^2)+(1/z^2)=(1/z^2)4

=>z^2=<24

=>z=1 ;2 ;3 ;4

rồi thay vào tìm tiếp x ;y

 xyz = 9 + x + y + z 
<=> 1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz 
giả sử: x ≥ y ≥ z ≥ 1, ta có: 
1 = 1/yz + 1/xz + 1/xy + 9/xyz ≤ 1/z^2 + 1/z^2 + 1/z^2 + 9/z^2 = 12/z^2 
=> z^2 ≤ 12 => z = 1, 2 , 3 
*z = 1: 
1=1/y + 1/x + 1/xy ≤ 1/y + 1/y + 1/y = 3/y 
=> y ≤ 3 => y = 1,2,3 
y =1 => x= 11 + x (vô nghiệm) 
y = 2 => 2x = 12 + x => x = 12 trường hợp nầy nghiệm (12,2,1) 
y = 3 => 3x = 13 + x ( không có ngiệm x nguyên) 

* z = 2 
1 = 1/2y + 1/2x + 1/xy + 1/2xy = 1/2y + 1/2x + 3/2xy ≤ 1/2(1/y + 1/y + 3/y) = .5/2y 
=> y ≤ 5/2 => y = 2 
=> 4x = 13 + x (không có nghiệm x nguyên) 

* z =3: 
1 = 1/3y + 1/3x + 1/xy + 3/xy = 1/3y + 1/3x + 4/xy ≤ 1/3(1/y +1/y + 12/y) = 14/3y 
=> y ≤ 14/3 => y = 3, 4 
y = 3 => 9x = 15 + x (không có nghiệm x nguyên) 
y = 4 => 12x = 16 + x (không có nghiệm x nguyên) 

Vậy pt có nghiệm là (12,2,1) và các hoán vị của nó.

Do \(x\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\)\(\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow x^2\le x+2\)

Tương tự: \(y^2\le y+2\) ; \(z^2\le z+2\)

Cộng vế: \(x^2+y^2+z^2\le x+y+z+6=6\) (đpcm)

Mặt khác \(x;y;z\in\left[-1;2\right]\Rightarrow\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+x+y+z+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow xyz+xy+yz+zx+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge-2\left(xy+yz+zx\right)\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(x+y+z\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2xyz+2\ge x^2+y^2+z^2\) (đpcm)

Câu a thôi nhá

a) +) Xét 1 trong 3 số x,y,z bằng 0 => xyz=0

                                                   => x+y+z=0. Mà một trong 3 số bằng 0

                                                   => x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc x+z=0

                                                   => x=-y hoặc y=-z hoặc z=-x.

    +) Xét x,y,x khác 0.

Vì vai trò của x,y,x là bình đẳng nên ta giả sử x<=y<=z.

=> x+y+z=xyz<= 3z

=> x+y<=3

Tự làm tiếp nhá

Ta có: \(a^5+b^5\ge a^2b^2\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow a^5+b^5+2abc\ge a^2b^2\left(a+b\right)+2abc\)

\(\ge ab\left[ab\left(a+b\right)+2c\right]\ge ab\left[2\left(a+b\right)+2c\right]=2ab\left(a+b+c\right)\) (áp dụng với \(a,b,c\ge\sqrt{2}\))

\(\Rightarrow\frac{1}{a^5+b^5+2abc}\le\frac{1}{2ab\left(a+b+c\right)}\)

Áp dụng vào bài toán ta được

\(P\le\frac{1}{2xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{2yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{2zx\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{x+y+z}{2xyz\left(x+y+z\right)}=\frac{1}{2xyz}\)

1)

Từ: \(\frac{3}{y}=\frac{7}{x}\)=>\(\frac{x}{7}=\frac{y}{3}\)

x+16=y =>x-y=-16

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

\(\frac{x}{7}=\frac{y}{3}=\frac{x-y}{7-3}=\frac{-16}{4}=-4\)(vì x-y=-16)

=>\(\frac{x}{7}=-4=>x=-28\)

=>\(\frac{y}{3}=-4=>y=-12\)

Vậy x=-28 ;y=-12

2)

=>x²-3x+5 chia hết cho x-3

mà (x-3)² chia hết cho x-3

=>x²-3x+5 -(x-3)² chia hết cho x-3

=> x²-3x+5 -x²-9 chia hết cho x-3

=>-3x+(-4) chia hết cho x-3

lại có : 3.(x-3) chia hết cho x-3

=>-3x-(-4)+3.(x-3) chia hết cho x-3

=>-3x+(-4)+3x-9 chia hết cho x-3 

=>-13 chia hết cho x-3

=>x-3 \(\in\)Ư(13)={-1;1;-13;13}

=>x\(\in\){2;4;-9;16}