\(\sqrt{5}\)

=2,2360607978....

=> Số trên là 1 số có giá trị chính xác

Mà là 1 số có giá trị kéo dài

=> Nó là số vô tỉ

\(\sqrt{5}\)là số vô tỉ.

Chứng minh:

Vì 5 là một số nguyên tố nên chỉ có hai ước là 1 và 5.

Ở đây khi được tạo bởi 2 thừa số giống nhau, và chính nó là tích.                ( lí luận 1)

=> Hai thừa số đó là 1 số vô tỉ (là 1 số kéo dài)

Có thể nói 5 không là một số chính phương nào cả => \(\sqrt{5}\)cũng không là 1 số hữu tỉ mà là 1 số vô tỉ.               (lí luận 2)

vì 5 là số nguyên tố 

=> \(\sqrt{5}\) là số vô tỉ

iả sử √22 là số hữu tỉ.

Vậy có thể viết √22 dưới dạng abab với a,bϵZ,b≠0a,bϵZ,b≠0 và (a;b)=1(a;b)=1 (1)

⇒a2b2=2⇒a2=2b2⇒a2b2=2⇒a2=2b2

⇒a⇒a chẵn . Đặt a=2ka=2k (kϵZkϵZ)

⇒4k2b2=2⇒4k2=2b2⇒b2=2k2⇒4k2b2=2⇒4k2=2b2⇒b2=2k2

⇒b⇒b chẵn . 

Vậy (a;b)≠1(a;b)≠1 trái với (1)

Vậy √22 là số vô tỷ.

Xin phép sửa lại đề: Chứng minh rằng \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ.

Giải:

Giả sử \(\sqrt{2}\)là số vô tỉ.

Khi đó ta có: \(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) \(m;n=1\)

\(\Rightarrow2=\frac{m^2}{n^2}\)

\(\Rightarrow2n^2=m^2\)

\(\Rightarrow m⋮n\) \(2;1=1\)

\(\Rightarrow\)Điều giả sử vô lý

\(\Rightarrow\sqrt{2}\)là số vô tỉ

Lời giải:
$x$ là số hữu tỉ khác $0$. Đặt $x=\frac{a}{b}$ với $a,b$ là số nguyên, $b\neq 0$.

Giả sử $x+y$ là số hữu tỉ. Đặt $x+y=\frac{c}{d}$ với $c,d\in\mathbb{Z}, d\neq 0$

$\Rightarrow y=\frac{c}{d}-x=\frac{c}{d}-\frac{a}{b}=\frac{bc-ad}{bd}$ là số hữu tỉ (do $bc-ad, bd\in\mathbb{Z}, bd\neq 0$)

Điều này vô lý do $y$ là số vô tỉ.

$\Rightarrow$ điều giả sử là sai. Tức là $x+y$ vô tỉ.

Hoàn toàn tương tự, $x-y$ cũng là số vô tỉ.

-------------------------------

Chứng minh $xy$ vô tỉ.

Giả sử $xy$ hữu tỉ. Đặt $xy=\frac{c}{d}$ với $c,d$ nguyên và $d\neq 0$

$\Rightarrow y=\frac{c}{d}:x=\frac{c}{d}:\frac{a}{b}=\frac{bc}{ad}\in\mathbb{Q}$

Điều này vô lý do $y\not\in Q$

$\Rightarrow$ điều giả sử là sai $\Rightarrow xy$ vô tỉ.

-------------------------------

CM $\frac{x}{y}$ vô tỉ.

Giả sử $\frac{x}{y}$ hữu tỉ. Đặt $\frac{x}{y}=\frac{c}{d}$ với $c,d$ nguyên, $d\neq 0$

$\Rightarrow y=x:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}: \frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}\in\mathbb{Q}$

Điều này vô lý do $y\not\in Q$

$\Rightarrow$ điều giả sử là sai. Tức là $\frac{x}{y}$ vô tỉ.

Giả sử √a là số hữu tỉ thì √a viết được thành √a = m/n với m, n ∈ N, (n ≠ 0) và ƯCLN (m, n) = 1

Do a không phải là số chính phương nên m/n không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.

Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m2 ⋮ p, do đó m ⋮ p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN (m, n) = 1. Vậy √a là số vô tỉ.

trả lời 

xl a 

e chưa làm 

bài này

Giả sử \(\sqrt{a}\) là số hữu tỉ thì \(\sqrt{a}\) viết được thành \(\sqrt{a}=\frac{m}{n}\) với m, n \(\in\) N, (n \(\ne\) 0) và ƯCLN (m, n) = 1

Do a không phải là số chính phương nên \(\frac{m}{n}\) không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.

Ta có m² = an². Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m² \(⋮\)p, do đó m\(⋮\) p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN (m, n) = 1.

Vậy\(\sqrt{a}\) là số vô tỉ.

Giả sử √a là số hữu tỉ thì √a viết được thành √a=\(\frac{m}{n}\) với m, n ∈ N, (n ≠ 0) và ƯCLN (m, n) = 1

Do a không phải là số chính phương nên \(\frac{m}{n}\)không phải là số tự nhiên, do đó n > 1.

Ta có m² = an². Gọi p là một ước nguyên tố của n thì m² ⋮ p, do đó m ⋮ p. Như vậy p là ước nguyên tố của m và n, trái với giả thiết ƯCLN (m, n) = 1. Vậy √a là số vô tỉ.