Cho a,b,c là các số nguyên tùy ý. Tổng sau có các số nguyên dương không: \(\frac{a}{b+c}\) + \(\frac{b}{b+c}\) + \(\frac{c}{c+a}\)
Cho a,b,c là các số nguyên dương tùy ý . Tổng sau có thể là số nguyên dương không ?
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)
Ta có: \(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng 3 BĐT trên vế theo vế ta được:
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Vậy \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) ko thể là số nguyên dương.
có
\(P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+a}+\frac{c}{c+a+B}.\)
\(P>\frac{\left(a+b+c\right)}{\left(a+b+c\right)}=1\)
suy ra P là số nguyên dương
bn Pian Thiên Đạo sai rồi, P > 1 thì có thể là 1,2; 1,3; 1,4;... mà ! các số đó đều lớn hơn 1 đấy thôi nhưng đâu là số nguyên dương
Cho a,b,c là các số nguyên dương tùy ý. Tổng sau có thể là số nguyên dương không?
a/(a+b)+b/(b+c)+c/(c+a)
Chẳng hiểu gì sất!
có thể vì các số nguyên dương cộng lại thì kết quả sẽ là số nguyên dương
Cho ba số nguyên dương a,b,c . Tổng \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)có giá trị là số nguyên dương không ? vì sao ?
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\)
\(>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(1\right)\)
Áp dụng a/b < 1 => a/b < a+m/b+m (a,b,m thuộc N*)
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{a+c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\)
\(< \frac{2.\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)=> \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)không là số nguyên dương
Cho a,b,c là các số nguyên dương.Tổng sau có pahir là số nguyên dương k
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}\)
Ta có
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) hay \(M>1\)
\(M=\left(1-\frac{a}{b+a}\right)+\left(1-\frac{c}{b+c}\right)+\left(1-\frac{a}{a+c}\right)< 3-\left(\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}\right)\)
\(=3-1=2\) hay \(M>2\)
Vậy \(1< M< 2\). Do đó M k thể là số nguyên dương
À bài nãy dễ thôi bạn. Lên cao bn sẽ gặp 1 dạng biến hóa nâng cao từ dạng này !!!
Do a,b,c là số nguyên dương
=> a/(a+b) >a/(a+b+c)
b/(b+c)>b/(a+b+c)
c/(c+a)>c/(a+b+c)
=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)>(a+b+c)/(a+b+c)=1
Lại có
a/(a+b)<(a+c)/(a+b+c)
b/(c+b)<(a+b)/(a+b+c)
c/(a+c)<(b+c)/(a+b+c)
=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a)<2(a+b+c)/(a+b+c)=2
=> 1< a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) < 2
=> a/(a+b) + b/(b+c) + c/(c+a) không là số nguyên
Cho \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)với a,b,c là các số nguyên dương .
Chứng minh:M = \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)không là số nguyên
Gọi số dư của a và b khi chia m là n
Ta có: a=m*k+n
b=m*h+n
=>a-b=m*k+n -(m*h+n)
=m*k+n-m*h-n
=(m*k-m*h)+(n-n)
=m(k-h) luôn chia hết m
Đpcm
Cho a, b, c là các số nguyên dương tùy ý.Tổng: \(\frac{a}{a+b}\)+\(\frac{b}{b+c}\)+\(\frac{c}{c+a}\) là số nguyên hay không ? Vì sao?
NHỚ TRÌNH BÀY LỜI GIẢI CHI TIẾT
Cho các số a,b,c là các số nguyên dương sao cho mỗi số đều nhỏ hơn tổng hai số còn lại.
Chứng minh rằng: S = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\) không phải là số tự nhiên.
\(S=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
Theo đề ta được:
\(\hept{\begin{cases}a< \left(b+c\right)\\b< \left(a+c\right)\\c< \left(a+b\right)\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{b+c}< 0\\\frac{b}{a+c}< 0\\\frac{c}{a+b}< 0\end{cases}\Rightarrow}\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ne N}\)( Tổng của ba phân số không thể bằng 1 số tự nhiên với a,b,c không là số âm )
\(Cho\)\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)với a, b, c là các số nguyên dương.
Chứng minh:
\(M=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)không là số nguyên.
Ta có: \(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)(1)
Lại có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+b}< \frac{c+a}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow M< \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}+\frac{c+a}{a+b+c}=\frac{a+b+b+c+c+a}{a+b+c}=\frac{2a+2b+2c}{a+b+c}=\frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)(2)
Từ (1);(2) => 1 < M < 2 => đpcm
1,Cho a,b,c là các số nguyên dương
Chứng minh rằng: P=\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\) không là số nguyên
Ta có:
\(\frac{a}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}\);
\(\frac{b}{b+c}>\frac{b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}>\frac{c}{a+b+c}\)
Cộng từng vế 3 bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}>\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\) (1)
Ta lại có:
\(\frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
\(\frac{b}{b+c}< \frac{a+b}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{c+a}< \frac{b+c}{a+b+c}\)
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)
Vậy P không phải là số nguyên