Chứng minh rằng:
\(\frac{\left|x\right|}{2008+\left|x\right|}+\frac{\left|y\right|}{2008+\left|y\right|}\ge\frac{\left|x-y\right|}{2008+\left|x-y\right|}\) với bất kì các số x,y nào
Đinh Tuấn Việt. help
Chứng minh rằng:
\(\frac{\left|x\right|}{2008+\left|x\right|}+\frac{\left|y\right|}{2008+\left|y\right|}\ge\frac{\left|x-y\right|}{2008+\left|x-y\right|}\)
P/S: - Việt ~~ Giúp tttttttttttttttttttttttttttttttttt
Chứng minh rằng:
\(\frac{\left|x\right|}{2008+\left|x\right|}+\frac{\left|y\right|}{2008+\left|y\right|}\ge\frac{\left|x-y\right|}{2008+\left|x-y\right|}\) với bất kì số x ; y nào.
P/S: Mấy thím nào giỏi thì giúp con ~~
bài dài nên cô sẽ gợi ý An theo bước sau:
đầu tiên ta chứng minh: \(0< a< b;\)0<m<n thì : \(\frac{a+m}{b+m}< \frac{a+n}{b+n}\)(1)
thật vậy: \(\frac{a+m}{b+m}< \frac{a+n}{b+n}\Leftrightarrow\frac{a+m}{b+m}-\frac{a+n}{b+n}< 0\Leftrightarrow\left(n-m\right)\left(a-b\right)
< 0\)(vì n-m>0; a-b<0)
TH1: nếu x và y cùng dấu khi đó: \(\left|x\right|\ge\left|x-y\right|\) hoặc \(\left|y\right|>\left|x-y\right|\)( chứng minh bằng cách chia hai trường hợp x,y>0; x<y<0)
giả sử |x|>|x-y|
ÁP dụng bất đẳng thức (1) với |x| và |x-y|, 1 và 2008 ta có:\(\frac{\left|x\right|}{\left|x\right|+2008}>\frac{\left|x-y\right|}{\left|x-y\right|+2008}\)suy ra bất đẳng thức đúng.
TH2: x, y trái dấu khi đó: \(\left|x-y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|\)
ta có: \(\frac{\left|x-y\right|}{\left|x-y\right|+2008}=\frac{\left|x\right|+\left|y\right|}{\left|x\right|+\left|y\right|+2008}\)
ta thấy: \(\frac{\left|x\right|}{\left|x\right|+2008}>\frac{\left|x\right|}{\left|x\right|+\left|y\right|+2008}\)
\(\frac{\left|y\right|}{\left|y\right|+2008}>\frac{\left|y\right|}{\left|x\right|+\left|y\right|+2008}\)
cộng hai vế của bất đẳng thức ta suy ra điều phải chứng minh.
TH3: nếu x = y = 0 thì bất đẳng thức đúng.
TA CÓ ĐIỀU PHẢI CHỨNG MINH.
Chứng mình rằng:
\(\frac{\left|x\right|}{2008+\left|x\right|}+\frac{\left|y\right|}{2008+\left|y\right|}\ge\frac{\left|x-y\right|}{2008+\left|x-y\right|}\) với bất kì các số x , y nào.
chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với x,y là các số thực bất kì khác không: \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\) <=>\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4 - 3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge0\)
Vì \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge 2\)
và \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge 2\)
nên BĐT tương đương 2+ 4- 3x2 \(\ge 0\)
<=> 0\(\ge 0\)
Dấu = xảy ra khi x=y
Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=a\) ta có \(lal=l\frac{x}{y}+\frac{y}{x}l=l\frac{x}{y}l+l\frac{y}{x}l\ge2\) ( cô - si )
=> \(a\ge2ora\le-2\)
BĐT <=> \(a^2-2+4\ge3a\Leftrightarrow a^2-3a+2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
(+) với \(a\ge2\) => \(a-1>a-2\ge0\Leftrightarrow\left(a-1\right)\left(a-2\right)\ge0\)
(+) với \(a\le-2\Rightarrow a-2\le0;a-1\le0\Rightarrow\left(a-2\right)\left(a-1\right)\ge0\)
Vậy BĐT trên luôn đúng
Cho x, y, z khác 0 và x+y+z=2008
Tính P=\(\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(P=\frac{x^3}{\left(x-y\right)\left(x-z\right)}+\frac{y^3}{\left(y-x\right)\left(y-z\right)}+\frac{z^3}{\left(z-x\right)\left(z-y\right)}\)
\(=\frac{-x^3\left(y-z\right)-y^3\left(z-x\right)-z^3\left(x-y\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{-x^3y+x^3z-y^3z+y^3x-z^3x+z^3y}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=\frac{\left(x-y\right)\left(z-x\right)\left(y-z\right)\left(x+y+z\right)}{\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}\)
\(=x+y+z=2008\)
\(\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{6}\right|+\left|x+\frac{1}{12}\right|+\left|x=\frac{1}{20}\right|+...+\left|x+\frac{1}{101}\right|=101x\)
2. Tìm x, y, z biết\(\left(2x+1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|=0\)
3.Tìm x\(a,2009-\left|x-2009\right|=x\)
\(b,\left|3x+2\right|=\left|5x-3\right|\)
Bài 1:
\(\left|x+\frac{1}{2}\right|+\left|x+\frac{1}{6}\right|+...+\left|x+\frac{1}{101}\right|=101x\)
Ta thấy:
\(VT\ge0\Rightarrow VP\ge0\Rightarrow101x\ge0\Rightarrow x\ge0\)
\(\Rightarrow\left(x+\frac{1}{2}\right)+\left(x+\frac{1}{6}\right)+...+\left(x+\frac{1}{101}\right)=101x\)
\(\Rightarrow\left(x+x+...+x\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{101}\right)=0\)
\(\Rightarrow10x+\left(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{10.11}\right)=0\)
\(\Rightarrow10x+\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11}\right)=0\)
\(\Rightarrow10x+\left(1-\frac{1}{11}\right)=0\)
\(\Rightarrow10x+\frac{10}{11}=0\)
\(\Rightarrow10x=-\frac{10}{11}\Rightarrow x=-\frac{1}{11}\)(loại,vì x\(\ge\)0)
Bài 2:
Ta thấy: \(\begin{cases}\left(2x+1\right)^{2008}\ge0\\\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}\ge0\\\left|x+y+z\right|\ge0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(2x+1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|\ge0\)
Mà \(\left(2x+1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|=0\)
\(\left(2x+1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|=0\)
\(\Rightarrow\begin{cases}\left(2x+1\right)^{2008}=0\\\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}=0\\\left|x+y+z\right|=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}2x+1=0\\y-\frac{2}{5}=0\\x+y+z=0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\x+y+z=0\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\-\frac{1}{2}+\frac{2}{5}+z=0\end{cases}\)
\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\-\frac{1}{10}=-z\end{cases}\)\(\Rightarrow\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\z=\frac{1}{10}\end{cases}\)
Bài 3:
a)\(2009-\left|x-2009\right|=x\)
\(\Rightarrow\left|x-2009\right|=2009-x\)
\(\Rightarrow\left|x-2009\right|=-\left(x-2009\right)\)
Vì GTTĐ của số âm bằng số đối của nó
\(\Rightarrow x-2009\le0\)
\(\Rightarrow x\le2009\)
Vậy với mọi \(x\le2009\) đều thỏa mãn
b)\(\left|3x+2\right|=\left|5x-3\right|\)
\(\Rightarrow3x+2=5x-3\) hoặc \(3x+2=3-5x\)
\(\Rightarrow2x=5\) hoặc \(8x=1\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{2}\) hoặc \(x=\frac{1}{8}\)
Tìm x y z biết
\(\left(2x-1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y-z\right|=0\)
(2x - 1 )2008+(y - 2/5)2008 + |x + y - z | = 0
=> ( 2x - 1) 2008 =0 => 2x - 1 =0 => 2x = 1 => x = 1/2
( y - 2/5 )2008 = 0 y - 2/5 = 0 y =2/5 y = 2/5
|x + y -z | = 0 x + y - z = 0 x + 2/5 - z = 0 1/2 - 2/5 -z = 0
=>x = 1/2 =>x = 1/2
y = 2/5 y = 2/5
5/10 - 4/10 = z z = 1/ 10
Vậy x = 1/2 ; y = 2/5 : z = 1/10
( nhớ cho mk nha )
ta có: \(\left(2x-1\right)^{2008}\ge0\)
\(\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}\ge0\)
\(\left|x+y-z\right|\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y-z\right|\ge0\)
để \(\left(2x-1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y-z\right|=0\)
\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^{2008}=0\Rightarrow2x-1=0\Rightarrow x=\frac{1}{2}\)
\(\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}=0\Rightarrow y-\frac{2}{5}=0\Rightarrow\frac{2}{5}\)
\(\left|x+y-z\right|=0\Rightarrow x+y-z=0\Rightarrow z=x+y\Rightarrow z=\frac{1}{2}+\frac{2}{5}=\frac{9}{10}\)
KL: x= 1/2; y= 2/5; z=9/10
( mk nghĩ nó còn có nhiều đáp số lắm, nhưng mk ko bít cách lm)
Do (2x-1)2008\(\ge0\),\(\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}\ge0\),|x+y-z|\(\ge0\)
mà đề cho tổng 3 số trên bằng 0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x-1\right)^{2008}\\\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}\\\left|x+y-z\right|=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x=-1\\y=\frac{2}{5}\\x+y-z=0\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\\frac{1}{2}+\frac{2}{5}-z=0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\z=\frac{9}{10}\end{cases}}}\)
Vậy ...(bn tự kl nhé)
Cho x,y,z dương thỏa mãn xy+yz+zx=2008. Chứng minh rằng giá trị biểu thức M không phụ thuộc vào x,y,z.
\(M=x\sqrt{\dfrac{\left(2008+y^2\right)\left(2008+z^2\right)}{2008+x^2}}+y\sqrt{\dfrac{\left(2008+z^2\right)\left(2008+x^2\right)}{2008+y^2}}+z\sqrt{\dfrac{\left(2008+x^2\right)\left(2008+y^2\right)}{2008+z^2}}\)
M = x.√[(2008+y²).(2008+z²)\(2008+x²)] + y.√[(2008+x²).(2008+z²)\(2008+y²)] + z.√[(2008+y²).(2008+x²)\(2008+z²)]
ta có:
2008 + x² = xy + xz + yz + x²
2008 + x² = (x+y).(x+z)
tương tự: 2008 + y² = (x+y).(y+z) và 2008 + z² = (z+y).(x+z)
chỉ việc thay vào rùi rút gọn thui
=> M = x.√[(x+y).(y+z).(x+z).(z+y)\ (x+y).(x+z)] + y.√[(x+y).(x+z).(x+z).(z+y)\(y+x).(y+z)] + z.√[(x+y).(x+z).(y+z).(y+x)\(x+z).(z+y)]
=> M = x.|y+z| + y.|z+x| + z.|x+y|
=> M = 2.2008
Thay \(xy+yz+xz=2018\) ta được:
\(\left\{{}\begin{matrix}2018+x^2=x^2+xy+yz+xz=\left(x+y\right)\left(x+z\right)\\2018+y^2=y^2+xy+yz+xz=\left(y+z\right)\left(x+y\right)\\2018+z^2=z^2+xy+yz+xz=\left(x+z\right)\left(y+z\right)\end{matrix}\right.\)
Sau đó thay vào lần lượt đề bài là được
\(\left(2x-1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|=0\)
\(\left(2x-1\right)^{2008}\ge0\)
\(\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}\ge0\)
\(\left|x+y+z\right|\ge0\)
\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|\ge0\)
Mà: \(\left(2x-1\right)^{2008}+\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}+\left|x+y+z\right|=0\)
\(\Rightarrow\left(2x-1\right)^{2008}=0;\left(y-\frac{2}{5}\right)^{2008}=0;\left|x+y+z\right|=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{2}{5}\\z=\frac{-9}{10}\end{cases}}\)
────(♥)(♥)(♥)────(♥)(♥)(♥) __ ɪƒ ƴσυ’ʀє αʟσηє,
──(♥)██████(♥)(♥)██████(♥) ɪ’ʟʟ ɓє ƴσυʀ ѕɧα∂σѡ.
─(♥)████████(♥)████████(♥) ɪƒ ƴσυ ѡαηт тσ cʀƴ,
─(♥)██████████████████(♥) ɪ’ʟʟ ɓє ƴσυʀ ѕɧσυʟ∂єʀ.
──(♥)████████████████(♥) ɪƒ ƴσυ ѡαηт α ɧυɢ,
────(♥)████████████(♥) __ ɪ’ʟʟ ɓє ƴσυʀ ρɪʟʟσѡ.
──────(♥)████████(♥) ɪƒ ƴσυ ηєє∂ тσ ɓє ɧαρρƴ,
────────(♥)████(♥) __ ɪ’ʟʟ ɓє ƴσυʀ ѕɱɪʟє.
─────────(♥)██(♥) ɓυт αηƴтɪɱє ƴσυ ηєє∂ α ƒʀɪєη∂,
───────────(♥) __ ɪ’ʟʟ ʝυѕт ɓє ɱє.
(⁀‵⁀) ✫ ✫ ✫.
`⋎´✫¸.•°*”˜˜”*°•✫
..✫¸.•°*”˜˜”*°•.✫
☻/ღ˚ •。* ♥ ˚ ˚✰˚ ˛★* 。 ღ˛° 。* °♥ ˚ • ★ *˚ .ღ 。
/▌*˛˚ღ •˚ Type your status message ˚ ✰* ★
GOOD ♥
(¯`♥´¯).NİGHT.♥
.`•.¸.•´(¯`♥´¯)..SWEET ♥
*****.`•.¸.•´(¯`♥´¯)..DREAMS ♥
***********.`•.¸.•´(¯`♥´¯)..♥
...***************.`•.¸.•´……♥ ♥
..... (¯`v´¯)♥
.......•.¸.•´
....¸.•´
... (
☻/
/▌♥♥
/ \ ♥Type your status message♥
░░░░░░███████ ]▄▄▄▄▄▄▄▄▃
▂▄▅█████████▅▄▃▂
I███████████████████].
◥⊙▲⊙▲⊙▲⊙▲⊙▲⊙▲⊙◤...
Bằng Chíu ! Bằng Chíu !