ta có \(A=2x^2-2xy+\frac{y^2}{2}+\frac{y^2}{2}-4y+8+7\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(4x^2-4xy+y^2\right)+\left(y^2-8y+18\right)\right]+7\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(2x-y\right)^2+\left(y-4\right)^2\right]+7\ge7\)

Vậy ta có A luôn dương

a)\(A=x^2+x+1=\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{3}{4}=\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}>0\)

b) \(B=2x^2+2x+1=2\left(x^2+x+\dfrac{1}{4}\right)+\dfrac{1}{2}=2\left(x+\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{1}{2}>0\)

Ta có: \(4x^2-28x+51=\left(2x\right)^2-2\cdot2x\cdot7+49+2\)

                                       \(=\left(2x-7\right)^2+2\)(*)

Vì \(\left(2x-7\right)^2\ge0\) với mọi x

=> (*)\(\ge1\)

 =>(*) luôn luôn dương với mọi x

ta có : \(4x^2-28x+51=\left(2x\right)^2-2.2x.7+7^2+51=\left(2x-7\right)^2+51\)

vì \(\left(2x-7\right)^2\ge0\) với mọi x 

\(\Rightarrow\left(2x-7\right)^1+51>0\) với mọi x  (đpcm)

\(E=x^2+2x+15=\left(x^2+2x+1\right)+14=\left(x+1\right)^2+14\ge14>0\forall x\)

E=(x²+2x+1)+14=(x+1)²+14

ta có (x+1)² >=0 với mọi x

suy ra E=(x²+2x+1)+14=(x+1)²+14 >0 với mọi biến x

\(2x^2+2x+7=2x^2+2x+\frac{1}{2}+\frac{13}{2}\)

\(=2\left(x^2+x+\frac{1}{4}\right)+\frac{13}{2}=2.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{13}{2}\)

Vì \(\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)\(\Rightarrow2\left(x+\frac{1}{2}\right)^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow2.\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{13}{2}\ge\frac{13}{2}\forall x\)

\(\Rightarrow2x^2+2x+7\ge\frac{13}{2}\forall x\)

hay biểu thức \(2x^2+2x+7\)luôn dương với mọi x ( đpcm )

2x² + 2x + 7

= 2( x² + x + 1/4 ) + 13/2

= 2( x + 1/2 )² + 13/2 ≥ 13/2 > 0 ∀ x ( đpcm )

\(a,B=4x^2+20x+25-9+x^2+14=5x^2+20x+30\\ b,B=5\left(x^2+4x+4\right)+10\\ B=5\left(x+2\right)^2+10\ge10>0,\forall x\)

Do đó B luôn dương với mọi x

\(a,P=5x\left(2-x\right)-\left(x+1\right)\left(x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-\left(x^2+x+9x+9\right)\)

\(=10x-5x^2-x^2-x-9x-9\)

\(=\left(10x-x-9x\right)+\left(-5x^2-x^2\right)-9\)

\(=-6x^2-9\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2\le0\forall x\)

\(\Rightarrow-6x^2-9\le-9< 0\forall x\)

hay \(P\) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến \(x\).

\(b,Q=3x^2+x\left(x-4y\right)-2x\left(6-2y\right)+12x+1\)

\(=3x^2+x^2-4xy-12x+4xy+12x+1\)

\(=\left(3x^2+x^2\right)+\left(-4xy+4xy\right)+\left(-12x+12x\right)+1\)

\(=4x^2+1\)

Ta thấy: \(x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2\ge0\forall x\)

\(\Rightarrow4x^2+1\ge1>0\forall x\)

hay \(Q\) luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến \(x\) và \(y\).

#\(Toru\)

A = x² - x + 1

A = x² - 2.x.\(\frac{1}{2}\)+\(\frac{1}{4}\) +\(\frac{3}{4}\)

A = \(\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\)

B = (x - 2)(x - 4) + 3

B = x² - 4x - 2x + 8 + 3

B = x² - 6x + 11

B = x² - 2.3.x + 9 + 3

B = \(\left(x-3\right)^2+3>0\)

C = 2x² - 4xy + 4y² + 2x + 5

C = (x² - 4xy + 4y²) + x² + 2x + 5

C = (x - 2y)² + (x² + 2x + 1) + 4

C = (x - 2y)² + (x + 1)² + 4

Xét biểu thức C thấy : 

Có 2 hạng tử không âm (vì là bình phương)

Vậy C > 0