Ký hiệu (abcd) là số tự nhiên có 4 chữ số. 
(abcd) + (abc) + (ab) + (a) = 1111.a + 111.b + 11.c + d 
Vậy 1111.a + 111.b + 11.c + d = 4321 
+ Nếu a < 3 => 111.b + 11.c + d > 2098 (vô lý vì b, c, d < 10) 
+ Nếu a > 3 => vế trái > 4321 
Vậy a = 3 => 111.b + 11.c + d = 988 
+ Nếu b < 8 => 11.c + d > 210 (vô lý vì c, d < 10) 
+ Nếu b > 8 => vế trái > 988 
Vậy b = 8 => 11.c + d = 100 
+ Nếu c < 9 => d > 11 (vô lý) 
Vậy c = 9; d = 1 
=> (abcd) = 3891

cảm ơn bn nha

Bài làm:

Ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Leftrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}\Leftrightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}\)

Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau:

Ta có: \(\frac{a^2}{c^2}=\frac{b^2}{d^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}=\frac{a^2-b^2}{c^2-d^2}\)

=> \(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}\)

Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=kb\\c=kd\end{cases}}\)

=>\(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}=\frac{\left(kb\right)^2+b^2}{\left(kb\right)^2-b^2}=\frac{k^2b^2+b^2}{k^2b^2-b^2}=\frac{b^2\left(k^2+1\right)}{b^2\left(k^2-1\right)}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\)(1)

=> \(\frac{c^2+d^2}{c^2-d^2}=\frac{\left(kd\right)^2+d^2}{\left(kd\right)^2-d^2}=\frac{k^2d^2+d^2}{k^2d^2-d^2}=\frac{d^2\left(k^2+1\right)}{d^2\left(k^2-1\right)}=\frac{k^2+1}{k^2-1}\)(2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Ta có tỉ lệ thức sau:

a/b=c/d => ad=cb 

(=) a/c=b/d

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

a/c=b/d= a+b/c+d = a-b/c-d =

(=) (a+b)^2/(c+d)^2 = (a-b)^2/(c-d)^2

(=) a^2+b^2/c^2+d^2 = a^2-b^2/c^2-d^2

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

a^2+b^2/c^2+d^2 = a^2-b^2/c^2-d^2 = a^2+b^2/a^2-b^2 = c^2+d^2/c^2-d^2

Trình bày của mình hơi dài giòng nên bạn có trình bày nào ngắn gọn hơn thì sài nha!

Lời giải:

Có 4 số a,b,c,d và 3 số dư có thể xảy ra khi chia một số cho 3 là 0,1,2

Do đó áp dụng nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất [\(\frac{4}{3}\)]+1=2số có cùng số dư khi chia cho 3

Không mất tổng quát giả sử đó là a,b⇒a−b⋮3

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮3

Mặt khác

Trong 4 số a,b,c,da,b,c,d

Giả sử tồn tại hai số có cùng số dư khi chia cho 4 là a,b

⇒a−b⋮4⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)\(⋮\)4

Nếu a,b,c,d không có số nào có cùng số dư khi chia cho 4. Khi đó giả sử a,b,c,d có số dư khi chia cho 4 lần lượt là 0,1,2,3

⇒c−a⋮2; d−b⋮2

⇒(b−a)(c−a)(d−a)(d−c)(d−b)(c−b)⋮4

Như vậy, tích đã cho vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4. Do đó nó cũng chia hết cho 12

Ta có đpcm,

a-20=24-[b+c]

a+b+c=24+20

a+b+c=44

ta co a/2=b/4=c/5=a+b+c/2+4+5=44/11=4

a/2=4 =>a=4.2=8

b/4=4 =>b=4.4=16

c/5=4 =>c=4.5=20

Ta có: a; b; c tỉ lệ với 2; 4; 5 và a - 20=24 - (b + c)

\(\Rightarrow\) \(\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}\) và a - 20=24 -  (b + c)

Ta lại có: a - 20=24 - (b + c)

\(\Rightarrow\) \(a+b+c=44\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{2}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{2+4+5}=\frac{44}{11}=4\)

Với \(\frac{a}{2}=4\Rightarrow a=8\) 

Với \(\frac{b}{4}=4\Rightarrow b=16\) 

Với \(\frac{c}{5}=4\Rightarrow c=20\) 

Vậy \(a=8;b=16;c=20\)

a-20=24-[b+c]

a+b+c=24+20

a+b+c=44

ta co a/2=b/4=c/5=a+b+c/2+4+5=44/11=4

a/2=4 =>a=4.2=8

b/4=4 =>b=4.4=16

c/5=4 =>c=4.5=20

Ta có : abc  = 100.a + 80.b + c 

                     = 83.a + 17.a + 80.b + c 

Do \(\hept{\begin{cases}83a⋮83\\17a+80b+c⋮83\left(gt\right)\end{cases}}\)

=> abc \(⋮\) 83 (đpcm ) 

cảm ơn bn nhak!