a) Vì D là điềm đối xứng với H qua AB nên AB là đường trung trực của DH 
suy ra AH=AD (1) 
Vì E đối xứng với H qua AC nên AC là đường trung trực của HE 
suy ra AH=AE (2) 
Từ (1) và (2) suy ra AD=AE (3) 
Mặt khác ^DAB=^BAH; ^HAC=^CAE và ^BAH+^HAC=90* 
do đó ^DAB+^BAH+ ^HAC+^CAE=180* 
tức là D, A, E thẳng hàng (4) 
từ (3) và (4) suy ra D và E đối xứng với nhau qua A. 

b) Tam giác DHE có HA là trung tuyến và HA= 1/2 DE 
nên tam giác DHE vuông tại H. 

c) Tam giác ADB=tam giác AHB (c-c-c) 
suy ra ^ADB=^AHB=90* 
tương tự có ^AEC=90* 
suy ra BD//CE (cùng vuông góc với DE) 
nên tứ giác BAEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE 
nên BAEC là hình thang vuông. 

d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5) 
Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6) 
công vế với vế của (5) và (6) ta có BD+CE=BH+CH 
hay BD+CE=BC

k mik nha bn

Thanks bn nha .Con bai đâu tiên

Có:CD là tia phân giác của góc ACB
      BE là tia phân giác của góc ABC
      mà góc ACB= góc ABC(tam giác ABC cân tại A)
\(\Rightarrow\frac{1}{2}\) góc C =\(\frac{1}{2}\) góc B
hay góc ACD=góc ABE
Xét tam giác ABE và tam giác ACD có:
góc A chung
AB=AC(tam giác ABC cân tại A)
góc ABE= góc ACD
=>tam giác ABE = tam giác ACD (g-c-g)
=>AE=AD(2 cạnh tương ứng)
=>tam giác AED cân tại A
=>góc AED=\(\frac{180-gócA}{2}\left(1\right)\)
Có:tam giác ABC cân tại A
=>góc ACB=\(\frac{180-gócA}{2}\left(2\right)\)
Từ(1) và (2)=>góc AED= góc ACB(=\(\frac{180-gócA}{2}\))
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị
=>DE//BC
=>DECB là hình thang
mà BE=CD(tam giác ABE=tam giác ACD)
=>Hình thang DECB là hình thang cân.
b,Có:DE//BC(CMT)
=>góc EDC=góc DCB(2 góc so le trong)
mà góc ECD=góc DCB (CD là tia phân giác góc C)
=>góc EDC=góc ECD (=góc DCB)
=>tam giác EDC cân tại E
=>ED=EC
mà DB=EC(hai cạnh bên của hình thang cân )
=>ED=EC=DB

 

a) 

ta có góc B= góc C( tam giác ABC cân tại A)

=> 1/2  góc B= 1/2 góc C

=> ABE=ACD=EBC=DCB

xét tam giác ABE và tam giác ACD có:

AB=AC(gt)

A(chung)

ABE=ACD( cmt)

=> tam giác ABE= tam giác ACD(g.c.g)

=> \(\begin{cases}AD=AE\\BE=CD\end{cases}\)

AD=AE=> tam giác ADE cân tại A

=> góc ADE=\(\frac{180^o-A}{2}\)

ta có tam giác ABC cân tại A

=> góc ABC=\(\frac{180^o-A}{2}\)

=> góc ABC= góc ADE

=> DE//BC(1)

ta có:AB=AC

AD=AE(cmt)

BD=AB-AD

EC=AC-AE

=> BD=EC(2)

từ (1)(2)=> tứ giác BDEC là hình thang cân

b)

theo câu a, ta có: tứ giác BDEC là hình thang cân 

=> DB=EC(3)

theo câu a,ta có DE//BC=> DEB=EBC mà EBC=DBE(gt)

=> DEB=DBE=> tam giác DBE cân tại D

=> DE=DB(4)

từ (3)(4)=> DB=EC

                 DE=DB

=> DB=EC=DE(đfcm)

a) Do \(\widehat{BEC};\widehat{BDC}\) là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat{BEC}=\widehat{BDC}=90^o\Rightarrow\widehat{AEH}=\widehat{ADH}=90^o\)

Hai tam giác vuông AEH và ADH có chung cạnh huyền AH nên A, E, D, H cùng thuộc đường tròn đường kính AH.

Vậy ADHE là tứ giác nội tiếp.

Xét tam giác ABC có BD, CE là các đường cao nên H là trực tam. Vậy thì \(AI\perp BC\)

Hai tam giác vuông ABD và AIB có chung cạnh huyền AB nên A, D, I, B cùng thuộc đường tròn đường kính AB.

Vậy ADIB là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có \(\Delta AHD\sim\Delta ACI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AC}=\frac{AD}{AI}\Rightarrow AH.AI=AD.AC\)

\(\Delta AHE\sim\Delta ABI\left(g-g\right)\Rightarrow\frac{AH}{AB}=\frac{AE}{AI}\Rightarrow AH.AI=AB.AE\)

Vậy nên \(AB.AE=AH.AI=AD.AC\)

c) Tứ giác AION nội tiếp nên \(\widehat{AIN}=\widehat{AON}=\widehat{ANM}\)

Ta cùng có \(\Delta ADN\sim\Delta ANC\Rightarrow\frac{AD}{AN}=\frac{AN}{AC}\Rightarrow AN^2=AD.AC\)

Mà AD.AD = AH.AI nên AH.AI = AN²

\(\Rightarrow\Delta AHN\sim\Delta ANI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ANH}=\widehat{AIN}=\widehat{ANM}\)

Vậy nên M, K , N thẳng hàng.

Bạn tự vẽ hình nhé

a, Vì tam giác ABC đều (gt) nên AB=AC=BC

Ta lại có: AM=BN=CP (gt)

Suy ra BM=CN=AP

Ta sẽ chứng minh được tam giác AMP=tam giác BNM; tam giác AMP= tam giác CPN(c.g.c)

=> MP=MN ; MP=PN(cặp cạnh tương ứng)

=> MN=NP=PM

=> tam giác MNP là tam giác đều(đpcm)

b, Vì O là giao điểm các đường trung trực của tam giác đều ABC nên OA=OB=OC(Vì giao điểm O của 3 đường trung trực của tam giác ABC cách đều 3 đỉnh của tam giác đó) và các tia AO,BO,CO, lần lượt là các tia phân giác của các góc A, B,C. Ta sẽ chứng minh được tam giác MAO= tam giác NPO; tam giác MAO=tam giác PCO(c.g.c)

=> OM=ON; OM=OP (cặp cạnh tương ứng)

=> OM=ON=OP

=> O là giao điểm các đường trung trực của tam giác MNP (đpcm)

Chúc bạn học tốt nha!!!

a)do AE//AC(gt) , mà AC \(⊥\) AB( và tg ABC vg tại A) nên BE \(⊥\)AB => ^EBA=90

xét tg HBE và tg BAE có ; ^BHE=^ABE =90 ; ^E chung 

=> tg HBE \(\infty\) tg BAE (g.g)

b) xét tg ABE vuông tại B có:  AB^2 +BE^2 =AE^2

                                             => 4^2 +BE^2 =5^2  => BE=3 (vì BE>0)

=> Diện tích tg ABE  là  \(\frac{1}{2}.AB.BE=\frac{1}{2}.4.3=6\left(cm^2\right)\)

xét tg ABI có: AH \(⊥\) BI (gt) và  H là t/đ của BI (vì HB=HI)

=> tg ABI cân tại A => AH là đg pg của ^BAI hay AE là pg của ^BAK

=> \(\frac{BE}{AB}=\frac{EK}{AK}\). Mà \(\frac{BE}{AB}=\frac{3}{4}\Rightarrow\frac{EK}{AK}=\frac{3}{4}\)