555²²² + 222⁵⁵⁵ =222⁵⁵⁵ + 555⁵⁵⁵ - (555⁵⁵⁵ - 555²²²) 
= 222⁵⁵⁵ + 555⁵⁵⁵ - 555²²²(555³³³ - 1) 
Ta có :
222⁵⁵⁵ + 555⁵⁵⁵ chia hết cho 222 + 555 = 777 chia hết cho 7 (1) 
555³³³ - 1 = (555³)¹¹¹ - 1 \(⋮\) 555³ - 1 
Ta có 555 = 7 . 79 + 2 = 7k + 2 (với k = 79) 
555³ - 1 = (7k+2)³ - 1 = (7k)³ + 3.(7k)².2 + 3.7k.2² + 8 - 1 = (7k)³ + 3.(7k)².2 + 3.7k.2² + 7 \(⋮\) 7 
=> 555³³³ - 1 chia hết cho 7 (2) 
Từ (1) và (2) => 555²²² + 222⁵⁵⁵ chia hết cho 7 (đpcm)

ta có

\(A=5^{2020}+5^{2019}+5^{2018}+5^{2017}=5^{2018}\left(5^2+1\right)+5^{2017}\left(5^2+1\right)\)

\(=\left(5^{2018}+5^{2017}\right)\left(5^2+1\right)=6.5^{2017}.26=12.5^{2016}.65\) chia hết cho 65.

Ta xét dãy số 1; 11; 111; ...; 111...11 

                                            30 c.số

Khi mỗi số hạng chia cho 29 thì sẽ có 2 số đồng dư

Giả dụ 2 số đó là 111...1 và 111...1 (n > m)

                           n c.số      m c.số

=> 111...1 - 111...1 = 111...100...0 = 111...11 . 10^m

      n c.số    m c.số   

Nhưng ƯCLN (10^m,29) = 1   => 111...11 chia hết cho 29

Vậy luôn tìm được 1 số có dạng 111...11 chia hết cho 29

A là số lẻ 

A=2k+1, k thuộc Z

A⁴+23=(2k+1)⁴+23=(2k+1)².(2k+1)²+23=(4k^2+4k+1)(4k^2+4k+1)+23=(4k^2+4k).(4k^2+4k+1)+4k^2+4k+1+23

=4(k^2+k)(4k^2+4k+1)+4k^2+4k+24 chia hết cho 4

uh cảm ơn dã nhắc mk nhá

19 phút đã thôi qua nhưng không ai đưa ra đáp án . Vì thế mình sẽ công bố luôn:

Đáp án:

Chứng minh. Xét \(a^2\)là một số chính phương, với \(a\in Z\)

a) Số nguyên a chia hết cho 3 hoặc khi chia 3 dư 1 hoặc 2.

 Nếu \(a\)\(⋮\)3 thì \(a^2\)\(⋮\)3

Nếu a chia cho 3 dư 1 hoặc 2 thì (a - 1) \(⋮\) 3 hoặc (a + 1) \(⋮\) 3. Suy ra (a - 1)(a + 1) \(⋮\)3 hay (\(a^2\)- 1) \(⋮\) 3.

b) Nếu a \(⋮\) 2 thì \(a^2\) \(⋮\) 4.

Nếu a không chia hết cho 2 thì (a - 1) \(⋮\) 2. Suy ra (a - 1) (a + 1) \(⋮\) 4 hay ( \(a^2\) -  1) \(⋮\)4.

Do đó \(a^2\) chia 4 dư 1 (ĐPCM)

\(S=\left(1+3\right)+\left(3^2+3^3\right)+\left(3^4+3^5\right)+...+\left(3^8+3^9\right)=\)

\(=4+3^2\left(1+3\right)+3^4\left(1+3\right)+...+3^8\left(1+3\right)=\)

\(=4\left(1+3^2+3^4+...+3^8\right)⋮4\)