Nếu Đặt p là nửa chu vi => p = (a + b + c)/2 => 2p = a + b + c 
=> p - a = (a + b + c)/2 - a 
=> p - a = (b + c + a - 2a)/2 
=> p - a = (b + c - a)/2 
=> 2(p - a) = b + c - a (1) 
Tương tự ta chứng minh được: 
2(p - b) = a + c - b (2) 
2(p - c) = a + b - c (3) 
Từ (1); (2) và (3) => 1/(a + b - c) + 1/(b +c - a) +1/(c +a - b) 
= 1/[ 2(p - c) ] + 1/[ 2(p - a) ] + 1/[ 2(p - b) ] 
=1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] 
Bây giờ ta đã đưa bài toán về chứng minh 
1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c 
Ta có: (x - y)² ≥ 0 
<=> x² - 2xy + y² ≥ 0 
<=> x² - 2xy + y² + 4xy ≥ 4xy 
<=> x² + 2xy + y² ≥ 4xy 
<=> (x + y)² ≥ 4xy 
=> với x + y ≠ 0 và xy ≠ 0 
=> (x + y)²/(x+ y) ≥ 4xy/(x + y) 
=> (x + y) ≥ 4xy/(x + y) 
=> (x + y)/xy ≥ (4xy)/[xy(x + y)] 
=> 1/x + 1/y ≥ 4/(x + y) (*) 
Áp dụng (*) với x = p - a và y = p - b ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(p - a + p - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(2p - a - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/(a + b + c - a - b) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) ≥ 4/c (4) 
Chứng minh tương tự ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - c) ≥ 4/b (5) 
1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/a (6) 
Cộng vế với vế của (4);(5) và (6) ta được: 
1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - a) + 1/(p - c) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 4/c + 4/b + 4/a 
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4/c + 4/b + 4/a 
=> 2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 4(1/a + 1/b + 1/c) 
=> 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ≥ 2(1/a + 1/b + 1/c) 
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/2.( 2(1/a + 1/b + 1/c) ) 
=> 1/2.[ 1/(p - a) + 1/(p - b) + 1/(p - c) ] ≥ 1/a + 1/b + 1/c 
Dấu bằng xảy ra <=> a = b = c. 

*) Nếu A = 2 góc B thì a² = b² + bc.

Kẻ AD là phân giác của góc A => góc A₁ = A₂ = A/ 2

=> góc  A₁ = A₂ = góc B

Xét tam giác ABC và tam giác DAC có: góc C chung ; góc A₂ = góc B

=> tam giác ABC đồng dạng với tam giác DAC ( g - g)

=> \(\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\Rightarrow\frac{DC}{b}=\frac{b}{a}\) (1)

Do AD là p/g của góc BAC nên \(\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}\Rightarrow\frac{DC}{AC}=\frac{DC+DB}{AC+AB}=\frac{BC}{AC+AB}\) (theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)

\(\Rightarrow\frac{DC}{b}=\frac{a}{b+c}\) (2)

Từ (1)(2) => \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{a}\Rightarrow a^2=b\left(b+c\right)=b^2+bc\)

*) Ngược lại: Nếu a² = b² + bc => góc A = 2 . góc B

Kẻ AD là phân giác của góc A => \(\frac{DC}{AC}=\frac{DB}{AB}\Rightarrow\frac{DC}{AC}=\frac{DC+DB}{AC+AB}=\frac{BC}{AC+AB}=\frac{a}{b+c}\)(3)

\(a^2=b^2+bc=b\left(b+c\right)\Rightarrow\frac{b}{a}=\frac{a}{b+c}\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{a}{b+c}\)(4)

từ (3)(4) => \(\frac{DC}{AC}=\frac{AC}{BC}\) mà có góc ACB chung 

=> tam giác DAC đồng dạng với tam giác ABC (c - g - c)

=> góc A₂ = góc B 

mà góc A= 2. góc A₂ nên góc A = 2. góc B

Này là toán lớp 7

Lớp 10 đấy

định lý hàm số sin: 
a/ \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\)2R 
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180^o - (B+C)] = 2R.sin(B+C) 
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được: 
 \(\frac{2R\times sinB}{cosB}+\frac{2R\times sinC}{cosC}=\frac{2R\times sin\left(B+C\right)}{sinBsinC}\)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC) 
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC) 
<=> cosBcosC = sinB.sinC 
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0 
<=> cos(B+C) = 0 
<=> B+C = 90^o 
vậy tam giác ABC vuông tại A

b/cosB+c/cosC=a/sinB.sinC (*) 

Áp dụng định lý hàm số sin: 
a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R 
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180⁰ - (B+C)] = 2R.sin(B+C) 
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được: 
2R.sinB/cosB + 2RsinC/cosC = 2R.sin(B+C)/(sinB.sinC) 
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC) 
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC) 
<=> cosBcosC = sinB.sinC 
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0 
<=> cos(B+C) = 0 
<=> B+C = 90⁰