\(\left(a^3+b^3\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)=a^5+a^3b^2+a^2b^3+b^5-\left(a+b\right)\)

                                                                =  \(a^5+b^5+a^2b^2\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\)

                                                                =\(a^5+b^5+\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\)

                                                               =\(a^5+b^5\left(dpcm\right)\)

1) a chia 6 dư 2 => a= 6k+2

b chia 6 dư 3 => b= 6k+3

=> ab=\(\left(6k+2\right)\left(6k+3\right)=36k^2+30k+6\)=> chia hết cho 6 

2) a= 5k+2; b=5k+3

=> \(ab=\left(5k+2\right)\left(5k+3\right)=25k^2+25k+6=25k\left(k+1\right)+6\)

=> dễ thấy 25k(k+1) chia hết cho 5. 6 chia 5 dư 1

=> ab chia 5 dư 1

a) Vì a chia 3 dư 1 nên a có dạng 3m+1 , vì b chia 3 dư 2 nên b có dạng 3n+2. \(\left(m,n\in N\right)\)

Ta có \(ab=\left(3m+1\right)\left(3n+2\right)=3mn+6m+3n+2\)

                \(=3\left(mn+2m+n\right)+2\)

Vậy ab chia 3 dư 2 .

b) Vì a chia 5 dư 4 nên a có dạng 5k-1 \(\left(k\in N\right)\)

Ta có \(a^2=\left(5k-1\right)^2=25k^2-10k+1=5\left(5k^2-2k\right)+1\)

Vậy \(a^2\) chia 5 dư 1 .

Cho a là số tự nhiênchia 6 dư 2 và b là số tự nhiên chia 6 dư 3. Chứng minh axb chia hết cho 6

Biến đổi VP ta có :

\(VP=\left(a^3+b^3\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)\)

\(=a^5+a^3b^2+a^2b^3+b^5-\left(a+b\right)\)

\(=a^5+a.\left(ab\right)^2+b.\left(ab\right)^2+b^5-\left(a+b\right)\)

\(=a^5+a+b+b^5-\left(a+b\right)\) (vì \(ab=1\))

\(=a^5+b^5=VT\)(đpcm)

Biến đổi vế phải :
\(\left(a^3+b^3\right)\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)=a^5+b^5+a^3b^2+a^2b^3-\left(a+b\right) \)

\(=a^5+b^5+a^2b^2\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\)

\(=a^5+b^5+\left(a+b\right)-\left(a+b\right)\)(vì ab=1)

\(=a^5+b^5\)

Biến đổi vế phải:

(a³+b³)(a²+b²)-(a+b)=(a⁵+b⁵)+(a³b²+a²b³)-(a+b)=a⁵+b⁵+a²b²(a+b)-(a+b)

Thay ab=1 vào ta được:

a⁵+b⁵+(a+b)-(a+b)=a⁵+b⁵

Sau khi biến đổi ta thấy vế phải bằng vế trái.Vậy đẳng thức đã được chứng minh