tam giác ABC cân tại A từ D trên cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc BC cắt AB AC tại E và F vẽ hình chữ nhật b e và c d e f k Chứng minh a là trung điểm HK. Vẽ hình giùm mình luôn nha. Tks, :)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) . M là trung điểm cạnh BC. Vẽ MD vuông góc với AB tại D và ME vuông góc với AC tại E.
a) Chứng minh tứ giác ADME là hình chữ nhật.
b) Chứng minh E là trung điểm của đoạn thẳng AC và tứ giác CMDE là hình bình hành.
c) Vẽ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng minh tứ giác MHDE là hình thang cân
d) Qua A vẽ đường thẳng song song với DH cắt DE tại K. Chứng minh HK vuông góc với AC.
a) Xét tứ giác ADME có:
∠(DAE) = ∠(ADM) = ∠(AEM) = 90o
⇒ Tứ giác ADME là hình chữ nhật (có ba góc vuông).
b) Ta có ME // AB ( cùng vuông góc AC)
M là trung điểm của BC (gt)
⇒ E là trung điểm của AC.
Ta có E là trung điểm của AC (cmt)
Chứng minh tương tự ta có D là trung điểm của AB
Do đó DE là đường trung bình của ΔABC
⇒ DE // BC và DE = BC/2 hay DE // MC và DE = MC
⇒ Tứ giác CMDE là hình bình hành.
c) Ta có DE // HM (cmt) ⇒ MHDE là hình thang (1)
Lại có HE = AC/2 (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông AHC)
DM = AC/2 (DM là đường trung bình của ΔABC) ⇒ HE = DM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ MHDE là hình thang cân.
d) Gọi I là giao điểm của AH và DE. Xét ΔAHB có D là trung điểm của AB, DI // BH (cmt) ⇒ I là trung điểm của AH
Xét ΔDIH và ΔKIA có
IH = IA
∠DIH = ∠AIK (đối đỉnh),
∠H1 = ∠A1(so le trong)
ΔDIH = ΔKIA (g.c.g)
⇒ ID = IK
Tứ giác ADHK có ID = IK, IA = IH (cmt) ⇒ DHK là hình bình hành
⇒ HK // DA mà DA ⊥ AC ⇒ HK ⊥ AC
cho tam giác ABC cân tại A , từ 1 điểm D trên cạnh BC ,vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB và AC lần lượt tại E,F. vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH .Chứng minh rằng A là trung điểm của GH
Trên đường thẳng cho bốn điểm A B C D theo thứ tự đó và AB = CD M là điểm bất kì không nằm trên đường thẳng AB Chứng minh rằng M A + MD lớn hơn MB + MC
Cho hình chữ nhật ABCD vẽ BH vuông góc với AC H thuộc AC M là trung điểm của AK K là trung điểm của CD Chứng minh rằng BM vuông góc vớiMK
Cho tam giác ABC cân tại A từ điểm D thuộc BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường AB AC lần lượt tại E F vẽ các hình chữ nhật b g và c d e f h Chứng minh I là trung điểm của g h
cho tam giác ABC cân tại A, từ 1 điểm D bất kì trên đấy BC vẽ các đường thẳng vuông góc BC cắt các đưởng thẳng AB, AC lần lượt tại E, F. Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH chứng minh A là trung điểm của GH
cho tam giác ABC cân tại A . từ 1 điểm D trên BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB và AC lần lượt ở E và F . vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH . Chứng minh : A là trung điểm của GH
vẽ hình sẽ hơi rối rắm đó, bạn thông cảm nhé tớ không biết vẽ hình trên máy
bạn vẽ hình chữ nhất GJCB. khi đó bạn sẽ dễ dàng chứng minh được:
tam giác GAB = tam giác JAC theo trường hợp c-g-c( vì JC = GB, góc JCA = góc GBA (dễ dàng chứng minh) , AB = AC)
khi đó bạn sẽ có GA = AJ.
bạn có góc DBA = góc GEA ( hai góc so le trong)
mà góc DBA = góc ACB ( t/c tam giác cân)
=> góc GEA = góc ACB
bạn có: góc DCF + góc DFC = 90độ
hay góc DCF + góc AFE = 90 độ( vì góc DFC và góc AFE đối đỉnh)(1)
bạn có góc GEA + góc AEF = góc GED = 90 độ(2)
(1)(2) suy ra góc AEF = góc AFE
từ đó suy ra tam giác AEF cân tại A.
suy ra A thuộc trung trực của EF
từ đây bạn có 1 bài toán nhỏ nè: cho hình chữ nhật EFHJ, điểm A là trung trực của EF. chứng minh A là trung trực của JH. Bài này rất dễ, bạn có thể tự chứng minh qua 2 tam giác AJE và AHF bằng nhau suy ra AJ = AF suy ra A thuộc trung trực JH.
từ đó bạn có AJ = AH, mà AJ = AG(chứng minh trên) => AJ = AG = AH. với tam giác JGH vuông tại J
từ đây bạn lại có 1 bài toán nhỏ nữa:
cho tam giác JGH vuông tại J. điểm A sao cho AJ = AG = AH. chứng minh A nằm trên GH
bạn sẽ dễ dàng chứng minh được qua các góc bằng nhau => điều phải chứng minh.
1 bài toán khó được kết hợp bởi nhiều bài toán dễ, chúc bạn học tốt :D
Cho tam giác ABC cân tại A . Từ điểm D trên cạnh đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Dựng các hình chữ nhật BDEH, CDFK
a, CM: ba điểm A,H,K thẳng hàng và A là trung điểm của HK
b, Gọi I,J lần lượt là tâm của các hình chữ nhật BDEH và CDEK; M là trung điểm của IJ; Khi D di chuyển trên BC thì M di chuyển trên đường nào?
Câu hỏi của Hai Nguyen Lam - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath Bạn tham khảo bài làm ở link này nhé!
Cho tam giác ABC cân tại A,từ điểm D trên BC kẻ đường vuông góc với BC cắt AB tại E và AC tại F. Vẽ các hình chữ nhật DBHE và CDFK. Gọi I là tâm hình chữ nhật DBHE, J là tâm hình chữ nhật CDFK.CMR:
a) AIDJ và AHIJ là hình chữ nhật
b) 3 điểm A,H,K thẳng hàng và A là trung điểm của HK
Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A . Từ một điểm D trên đáy BC vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở E và F . Vẽ các hình chữ nhật BDEG và CDFH . Chứng minh rằng A là trung điểm của GH .
Gọi I và O là tâm các hình chữ nhật BDEH và CDFK
Ta có: góc B1 = góc D1 và góc C1 = góc D2 ( t/c hình chữ nhật )
mà góc B1 = góc C1 (gt) nên góc B1 = góc D1 = góc C1 = góc D2
Do đó \(BE//DK\) và \(DH//CA\)
=> AIDO là hình bình hành nên AO = ID; mà HI = ID ( t/c hcn )
Do đó AO = HI; ta lại có \(AO//HI\)
=> AOIH là hình bình hành nên AH // IO và AH = IO (1)
- CM tương tự, AIOK là hình bình hành nên AK // IO và AK = IO (2)
- Từ (1) và (2) suy ra H,A,K thẳng hàng và AH = AK
=> Kết luận...
Bạn oy, A là trung điểm của HK sao lại GH được?
Bạn vẽ hình ra thử đi . Nếu là HK thì là đường gấp khúc .
Gọi I và O là tâm các hình chữ nhật BDEH và CDFK
Ta có: góc B1 = góc D1 và góc C1 = góc D2 ( t/c hình chữ nhật )
mà góc B1 = góc C1 (gt) nên góc B1 = góc D1 = góc C1 = góc D2
Do đó BE//DK và DH//CA
=> AIDO là hình bình hành nên AO = ID; mà HI = ID ( t/c hcn )
Do đó AO = HI; ta lại có AO//HI
=> AOIH là hình bình hành nên AH // IO và AH = IO (1)
- CM tương tự, AIOK là hình bình hành nên AK // IO và AK = IO (2)
- Từ (1) và (2) suy ra H,A,K thẳng hàng và AH = AK
=> A là trung điểm của HK
Bạn sử đề nhé
Cho tam giác ABC cân tại A. Từ điểm D trên đáy BD kẻ vuông góc với BC cắt AB tại E và AC tại F. Vẽ các hình chữ nhật BDEH và CDFK. Gọi I, J lần lượt là tâm các hình chữ nhật BDEH và CDFK, M là trung điểm AD.
a) Chứng minh: A trung điểm HK là 1 điểm cố định không phụ thuộc vào vị trí của D trên BC.
b) Chứng minh: 3 điểm I, M, J thẳng hàng.
c) Chứng minh: AD, HJ, KI đồng quy.
d) Khi D di động trên BC thì điểm M di chuyển trên đoạn thẳng nào.
a, Gọi I,J là tâm của hcn BDEH và CDFK
Do đó \(BI=ID\Rightarrow\widehat{BID}=180^0-2\widehat{IBD}\) (\(\Delta BID\) cân tại I)
Mà \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(\widehat{BAC}=180^0-2\widehat{IBD}\)
Do đó \(\widehat{BID}=\widehat{BAC}\) mà 2 góc này ở vị trí đv nên ID//AJ
Cmtt ta được \(\widehat{DJC}=\widehat{BAC}\left(=180^0-2\widehat{ACB}\right)\) mà 2 góc này ở vị trí slt nên AI//DJ
Do đó IAJD là hbh nên \(AI=DJ=JK\) (J là trung điểm DK)
Và AI//DJ hay AI//JK
\(\Rightarrow AIJK\) là hbh
\(\Rightarrow IJ=AK\) và IJ//AK
Mà IJ là đtb tg HDK nên IJ//HK và \(IJ=\dfrac{1}{2}HK\)
\(\Rightarrow\) HK trùng AK hay H,A,K thẳng hàng và \(AK=\dfrac{1}{2}HK\)
Do đó A là trung điểm HK
Vậy trung điểm A của HK là điểm cố định ko phụ thuộc vào vị trí điểm D
b, Vì I,M là trung điểm HD,AD nên IM là đtb tg HAD
Do đó IM//AH
Mà IJ//AH nên IM trùng IJ hay I,M,J thẳng hàng
c, Xét tam giác DHK có:
HJ là trung tuyến (J là trung điểm DK)
DA là trung tuyến (A là trung điểm HK)
KI là trung tuyến (I là trung điểm DH)
Do đó AD,HJ,KI đồng quy tại trọng tâm tam giác DHK
d, Do AIDJ là hbh nên M là trung điểm AD cũng là trung điểm IJ
Gọi P là trung điểm BC thì AP cũng là đường cao và AP ko đổi
Kẻ MN⊥BC thì MN//AP
Do đó MN là đtb tg DAP
\(\Rightarrow MN=\dfrac{1}{2}AP\) và MN ko đổi
Vậy khi D thay đổi thì M chạy trên đg thẳng //BC và các BC 1 khoảng bằng \(\dfrac{1}{2}AP\) (không đổi)