\(B=x^3+3x^2+3x^2y+3xy^2+y^3+3y^2+6xy+3x+3y+2019\)

\(=\left(x+y\right)^3-3\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)+2019\)

\(=\left[\left(x+y\right)^3-3\left(x+y\right)^2+3\left(x+y\right)+1\right]+2018\)

\(=\left(x+y-1\right)^3+2018\)

Mà \(x+y=101\)

\(B=\left(101-1\right)^3+2018=1002018\)

\(M=\overline{23xy}\) 

- M chia hết cho 2 =>\(y⋮2\) mà \(9\ge y\ge0\)

=>\(y\in\left\{0;2;4;6;8\right\}\).

- M chia 5 dư 4 =>\(\left(y-4\right)⋮5\) mà \(5\ge y-4\ge-4\)

=>\(y-4\in\left\{0;5\right\}\)

=>\(y\in\left\{4;9\right\}\).

=>\(y=4\)

-M chia 3 dư 1 =>\(\overline{23xy}-1⋮3\)

=>\(\overline{23x4}-1⋮3\)

=>\(\overline{23x3}⋮3\)

=>\(\left(2+3+x+3\right)⋮3\)

=>\(\left(8+x\right)⋮3\)

Mà \(9\ge x\ge0\)

=>\(x=1\) hay \(x=4\) hay \(x=7\).

-Vậy tìm được 3 số M thỏa mãn đề bài.

a) x⁴ + 3x³ - 7x² - 27x - 18

= x⁴ + x³ + 2x³ + 2x² - 9x² - 9x - 18x - 18

= x³ . (x + 1) + 2x² . (x + 1) - 9x . (x + 1) - 18(x + 1)

= (x + 1)(x³ + 2x² - 9x - 18)

= (x + 1)[x² .(x + 2) - 9.(x + 2)]

= (x + 1)(x + 2)(x² - 3²)

= (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x - 3)

b) x⁴ + 3x³ + 3x² + 3x + 2

= x⁴ + x³ + 2x³ + 2x² + x² + x + 2x + 2

= x³ (x + 1) + 2x² . (x + 1) + x(x + 1) + 2(x + 1)

= (x + 1)(x³ + 2x² + x + 2)

= (x + 1)[x² .(x + 2) + (x + 2)]

= (x + 1)(x + 2)(x² + 1)

\(x^4+3x^3-7x^2-27x-18\)

\(=\left(x^4+x^3\right)+\left(2x^3+2x^2\right)-\left(9x^2+9x\right)-\left(18x-18\right)\)

\(=x^3\left(x+1\right)+2x^2\left(x+1\right)-9x\left(x+1\right)-18\left(x+1\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x^3+2x^2-9x-18\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left[\left(x^3-3x^2\right)+\left(5x^2-15x\right)+\left(6x-18\right)\right]\)

\(=\left(x+1\right)\left[x^2\left(x-3\right)+5x^2\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)\right]\)

\(=\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x^2+5x+6\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)\)

\(=\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+3\right)^2\)

a) 1⁵ + 2³ = 1 + 8 = 9 = 3² ( là số chính phương )

b) 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² ( là số chính phương )

c) 2⁶ + 6² = 64 + 36 = 100 = 100² ( là số chính phương )

d) 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³

= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216

= 441 = 21² ( là số chính phương )

a) 1⁵ + 2³=1 + 8 = 9 (là số chính phương)

b) 5² + 12²= 25 + 144= 169 (là số chính phương)

c) 2⁶ + 6²= 64 + 36=100 (là số chính phương)

d) 14² – 12²= 196 - 144=52 (không là số chính phương)

e) 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³= 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 = 411 (là số chính phương)

( Phân vừa nãy mình ghi là d thì là phân e nhé , đây mới là phần d )

MÌnh viết nhầm nhé :

d) 14² - 12²

= 196 - 144

= 52 ( không là số chính phương )

\(A=4x^2y+\dfrac{14}{15}xy^2-2xy-\dfrac{2}{3}\)            bậc : 3

\(B=2xy^2z-1\)                  bậc :4

+ Thu gọn :

\(A=4x^2y+\dfrac{14}{15}xy^2-2xy-\dfrac{2}{3}\)

\(B=2xy^2z-1\)

+ Bậc

Đa thức \(A\) có 4 hạng tử :

  \(4x^2y\) có bậc \(3\)

 \(\dfrac{14}{15}xy^2\) có bậc \(3\)

 \(-2xy\) có bậc \(2\)

 \(-\dfrac{2}{3}\) có bậc \(0\)

Đa thức \(B\) có \(2\) hạng tử :

   \(2xy^2z\) có bậc \(4\)

   \(-1\) có bậc \(0\)

Âu Mai Gớt :)) Bài này là cả giờ sinh hoạt của t.

Đặt: \(L=1.2.3+2.3.4+100.101.102\)

\(4L=1.2.3.4+2.3.4.\left(5-1\right)+...+100.101.102.\left(103-99\right)\)

\(4L=1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+...+100.101.102.103-99.100.101.102\)

\(4L=100.101.102.103\Leftrightarrow L=\dfrac{100.101.102.103}{4}\)(1)

Mặt khác( Kiểu người 2 mặt ý) :

\(L=\left(2-1\right).2.\left(2+1\right)+\left(3-1\right).3.\left(3+1\right)+...+\left(101-1\right).101.\left(101+1\right)\)

\(L=2\left(2^2-1\right)+3\left(3^2-1\right)+...+101\left(101^2-1\right)\)

\(L=2^3-2+3^3-3+...+101^3-101\)

\(L=\left(1^3+2^3+3^3+...+100^3\right)-\left(1+2+3+...+100\right)+101^3-101\)(2)

Từ (1) và (2) ta có: \(\left(1^3+2^3+3^3+...+100^3\right)-\left(1+2+3+...+100\right)+101^3-101=\dfrac{100.101.102.103}{4}\)

\(\Rightarrow A-\dfrac{100.101}{2}+101^3-101=25.101.102.103\)

\(\Rightarrow A=25.101.102.103+101-101^3+\dfrac{100.101}{2}\)

\(A=25502500\)

\(\)Mà: \(B=1+2+3+...+100=\dfrac{100.101}{2}=5050\)

\(\Rightarrow\dfrac{A}{B}=5050\Leftrightarrow A⋮B\)

ta có điều phải chứng minh.

P/S: Có thể nhận thấy rằng: \(A=B^2\).Công thức tổng quát:

\(1^3+2^3+...+l^3=\left(1+2+3+...+l\right)^2\)

B= 1+2+3+...+100=\(\dfrac{100\left(100+1\right)}{2}\)

=50 x 101

Ta lại có A =1³+2³+3³+.....+100³

= (1³+100³) + (2³ + 99³) + .....+ (50³ +51³)

vì\(\left\{{}\begin{matrix}\text{1^3+100^3⋮100+1=101}\\\text{2^3+99^3⋮2+99=101}\\............................\\\text{50^3+51^3⋮50+51=101}\end{matrix}\right.\)

=> A \(⋮\)101(1)

mặt khác

A = (1³+99³)+(2³ + 98³) + .....+ (49³ +51³)+(50³ +100³)

vì\(\left\{{}\begin{matrix}1^3+99^3⋮1+99=100⋮50\\...................................\\49^3+51^3⋮49+51=100⋮50\\50^3+100^3⋮100+50=150⋮50\end{matrix}\right.\)

=> A\(⋮\)50(2)

Từ (1) và (2) => A\(⋮\)101 và\(⋮\)50

Mà (101 ,50)=1 => A\(⋮\)101x50=B

KL : A\(⋮\)B

ĐKXĐ: \(x\ne\pm3\)

\(P=\left[\dfrac{x\left(x+3\right)}{x^2\left(x+3\right)+9\left(x+3\right)}+\dfrac{3}{x^2+9}\right]:\left[\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{6x}{x^2\left(x-3\right)+9\left(x-3\right)}\right]\)

\(=\left[\dfrac{x\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x^2+9\right)}+\dfrac{3}{x^2+9}\right]:\left[\dfrac{1}{x-3}-\dfrac{6x}{\left(x-3\right)\left(x^2+9\right)}\right]\)

\(=\dfrac{x+3}{x^2+9}:\dfrac{x^2+9-6x}{\left(x-3\right)\left(x^2+9\right)}=\dfrac{x+3}{x^2+9}.\dfrac{\left(x-3\right)\left(x^2+9\right)}{\left(x-3\right)^2}=\dfrac{x+3}{x-3}\)

Ý 2 mình k hiểu ý bạn lắm

\(P=\dfrac{x+3}{x-3}=\dfrac{x-3+6}{x-3}=1+\dfrac{6}{x-3}\in Z\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\inƯ\left(6\right)=\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

Kết hợp vs ĐKXĐ \(\Rightarrow x\in\left\{0;1;2;4;5;6;9\right\}\)

M chia hết ch0 420 hay 20

\(1,\)

\(a,\) Với \(n=1\Leftrightarrow5+2\cdot1+1=8⋮8\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\)

Với \(n=k+1\)

\(5^n+2\cdot3^{n-1}+1=5^{k+1}+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot5+2\cdot3^k+1\\ =5^k\cdot2+2\cdot3^k+5^k\cdot3+1\\ =2\left(5^k+3^k\right)+5^k+2\cdot5^{k-1}+1+2\cdot3^{k-1}-2\cdot3^{k-1}\\ =2\left(5^k+3^k\right)+\left(5^k+2\cdot3^{k-1}+1\right)-2\left(3^{k-1}+5^{k-1}\right)\)

Vì \(5^k+3^k⋮\left(5+3\right)=8;5^{k-1}+3^{k-1}⋮\left(5+3\right)=8;5^k+2\cdot3^{k-1}+1⋮8\) nên \(5^{k+1}+2\cdot3^k+1⋮8\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(b,\) Với \(n=1\Leftrightarrow3^3+4^3=91⋮13\left(đúng\right)\)

Giả sử \(n=k\left(k\ge1\right)\Leftrightarrow3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13\)

Với \(n=k+1\)

\(3^{n+2}+4^{2n+1}=3^{k+3}+4^{2k+3}\\ =3^{k+2}\cdot3+16\cdot4^{2k+1}\\ =3^{k+2}\cdot3+3\cdot4^{2k+1}+13\cdot4^{2k+1}\\ =3\left(3^{k+2}+4^{2k+1}\right)+13\cdot4^{2k+1}\)

Vì \(3^{k+2}+4^{2k+1}⋮13;13\cdot4^{2k+1}⋮13\) nên \(3^{k+3}+4^{2k+3}⋮13\)

Theo pp quy nạp ta được đpcm

\(1,\)

\(c,C=6^{2n}+3^{n+2}+3^n\\ C=36^n+3^n\cdot9+3^n\\ C=\left(36^n-3^n\right)+\left(3^n\cdot9+2\cdot3^n\right)\\ C=\left(36^n-3^n\right)+3^n\cdot11\)

Vì \(36^n-3^n⋮\left(36-3\right)=33⋮11;3^n\cdot11⋮11\) nên \(C⋮11\)

\(d,D=1^n+2^n+5^n+8^n\)

Vì \(1^n+2^n+5^n⋮\left(1+2+5\right)=8;8^n⋮8\) nên \(D⋮8\)

\(2,\)

Ta thấy:\(1+2+...+2002=\left(2002+1\right)\left(2002-1+1\right):2=2003\cdot2002:2⋮11\left(2002⋮11\right)\)

Do đó \(1^{2002}+2^{2002}+...+2002^{2002}⋮1+2+...+2002⋮11\)