a⁵ + b⁵ = 29(c⁵ + d⁵) 

<=> a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ = 30(c⁵ + d⁵) \(⋮\)30 (1)

Xét hiệu a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ - (a + b + c + d) 

= (a⁵ - a) + (b⁵ - b) + (c⁵ - c) + (d⁵ - d)

Ta có a⁵ - a = (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1) 

Nhận thấy : \(\hept{\begin{cases}\left(a-2\right)\left(a-1\right)a\left(a+1\right)\left(a+2\right)⋮30\left(\text{tích 5 số nguyên liên tiếp}\right)\\5\left(a-1\right)a\left(a+1\right)⋮30\end{cases}}\)

=> a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5(a - 1)a(a + 1)  \(⋮\)30 

=> a⁵ - a \(⋮\)30

Tương tự ta chứng minh được b⁵ - b \(⋮\)30 ; c⁵ - c\(⋮\)30 ; d⁵ - d  \(⋮\)30

=> (a⁵ - a) + (b⁵ - b) + (c⁵ - c) + (d⁵ - d) \(⋮\)30

=> a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ - (a + b + c + d)  \(⋮\)30 (2)

Từ (1) và (2) => a + b + c + d \(⋮\)30 

a^5+b^5=4.(c^5-+d^5)

<=> a^5+b^5+c^5+d^5 = 5.(c^5+d^5) chia hết cho 5

Xét : a^5-a = a(a-2).(a+2).(a-1).(a+1)+5.a.(a-1).(a+1) chia hết cho 5 

Tương tự : b^5-b ; c^5-c ; d^5-d đều chia hết cho 5

=> a^5+b^5+c^5+d^5-(a+b+c+d) chia hết cho 5

Mà a^5+b^5+c^5+d^5 chia hết cho 5

=> a+b+c+d chia hết cho 5

Tk mk nha

bạn xét hiệu là ra

Ta có a^5-a luôn chia hết cho 6

suy ra a^5+...+d^5 -2016 chia hết cho 6

dpcm

Đề bài bị sai, ví dụ với \(\left(a;b;c\right)=\left(1;2;3\right)\) thì \(\left(a^3+b^3\right)\left(b^3+c^3\right)\left(c^3+a^3\right)\) chia hết cho 5 nhưng \(\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\) ko chia hết cho 5

Do 5 là số nguyên tố, nên trong 3 nhân tử \(a^3+b^3;b^3+c^3;c^3+a^3\) phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5

Không mất tính tổng quát, giả sử \(a^3+b^3⋮5\) \(\Rightarrow a;b\) đều chia hết cho 5 hoặc đều ko chia hết cho 5

Nếu  \(a+b\) ko chia hết cho 5:

- a;b đồng dư khi chia 5 \(\Rightarrow\) \(a^3+b^3\) chia 5 dư lần lượt là 2;3;3;2\(\Rightarrow\) ko chia hết cho 5 (ktm)

- a;b khác số dư khi chia 5, do vai trò của a;b là như nhau và a+b ko chia hết cho 5 nên ta có các trường hợp sau:

+ a chia 5 dư 1: nếu b chia 5 dư 2 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư -2 (ktm), nếu b chia 5 dư 3 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư -3 (ktm)

+ a chia 5 dư 2, b chia 5 dư 4 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư 2 (ktm)

+ a chia 5 dư 3, b chia 5 dư 4 \(\Rightarrow A\) chia 5 dư 3 (ktm)

\(\Rightarrow a+b\) ko chia hết cho 5 thì \(a^2+b^2-ab\) cũng ko chia hết cho 5

\(\Rightarrow a^3+b^3\) ko chia hết cho 5 (mâu thuẫn giả thiết)

Vậy \(a+b⋮5\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)⋮5\)