Theo bất đẳng thức 3 biến đối xứng thì ta có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi: x = y = z

Mà ta thấy: \(\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=x^2+y^2+z^2=12\)

\(\Rightarrow x=y=z=2\)

Vậy x = y = z = 2

tớ  chưa học bđt

tớ làm được cách khác rồi nha các bạn . tớ cám ơn mn đã dành thời gian để trả lời câu hỏi này

Bài làm:

Dễ thấy a,b,c khác 0

Ta có: \(\frac{xy}{x+y}=\frac{12}{7}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{7}{12}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{7}{12}\) (1)

Tương tự ta tách ra được: \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}\) (2) ; \(\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=-\frac{1}{4}\) (3)

Cộng vế (1);(2) và (3) lại ta được:

\(2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{6}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{12}\) (4)

Cộng vế (1) và (2) lại ta được: \(\frac{1}{x}+\frac{2}{y}+\frac{1}{z}=\frac{5}{12}\)

Thay (4) vào ta được: \(\frac{1}{y}+\frac{1}{12}=\frac{5}{12}\Leftrightarrow\frac{1}{y}=\frac{1}{3}\Rightarrow y=3\)

Từ đó ta dễ dàng tính được: \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}=\frac{7}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\\\frac{1}{z}=-\frac{1}{6}-\frac{1}{3}=-\frac{1}{2}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=4\\z=-2\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x;y;z\right)=\left(4;3;-2\right)\)

ĐK: \(0\le x,y,z\le2\), \(x+y+z=3\)

Đặt \(a=x-1\),\(b=y-1\),\(c=z-1\)

\(-1\le a,b,c\le1\)và \(a+b+c=0\)

Khi đó:

\(M=\left(a+1\right)^4+\left(b+1\right)^4+\left(c+1\right)^4-12abc\)

     \(=a^4+b^4+c^4+4.\left(a^3+b^3+c^3\right)+6.\left(a^2+b^2+c^2\right)+4.\left(a+b+c\right)-3-12abc\)

Vì     \(a+b+c=0\)nên

\(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right),\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)=0\)

Do đó 

\(M=a^4+b^4+c^4+6.\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge3\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)hay \(x=y=z=1\)

Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của M bằng 3 

vì sao 0<=x,y,z <=2

Ta có :

x + y + y +z + z + x = \(-\frac{7}{6}+\frac{1}{4}+\frac{1}{12}=-\frac{5}{6}\)

=> 2 ( x + y +z )= \(-\frac{5}{6}\)

=> x + y + z = \(-\frac{5}{6}:2=-\frac{5}{6}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{5}{12}\)

=> z = ( x + y +z ) - ( x + y) = \(-\frac{5}{12}-\left(-\frac{7}{6}\right)=-\frac{5}{12}+\frac{7}{6}=\frac{3}{4}\)

Tìm y ; x tương tự 

Bạn cộng cả ba cái lại sẽ đc

2(x+y+z) = -7/6 + 1/4 + 1/12 

=> x+y+z = .. 

=> z = x+y+z - (x+y) = .. - 7/ 6

tương tự x,y

\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3};\frac{y}{z}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{y}{1}=\frac{z}{4}\Rightarrow\frac{y}{3}=\frac{z}{12}\)

=>x=2k;y=3k;z=12k

thay vào ta có:

\(\frac{1}{2k}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{12k}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.\frac{1}{k}+\frac{1}{3}.\frac{1}{k}+\frac{1}{12}.\frac{1}{k}=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}\right)\frac{1}{k}=1\)

\(\Rightarrow\frac{11}{12}.\frac{1}{k}=1\Rightarrow\frac{1}{k}=\frac{1}{\frac{11}{12}}\)

\(\Rightarrow x=\frac{11}{6};y=\frac{11}{4};z=11\)

\(\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\Rightarrow\frac{x}{2}=\frac{y}{3};\frac{y}{z}=\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{y}{1}=\frac{z}{4}\Rightarrow\frac{y}{3}=\frac{z}{12}\)

\(\Rightarrow x=2k;y=3k;z=12k\)

Thay vào ta có:

\(\frac{1}{2k}+\frac{1}{3k}+\frac{1}{12k}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}.\frac{1}{k}+\frac{1}{3}.\frac{1}{k}+\frac{1}{12}.\frac{1}{k}=1\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{12}\right)\frac{1}{k}=1\)
\(\Rightarrow\frac{11}{12}.\frac{1}{k}=1\Rightarrow\frac{1}{k}=\frac{1}{\frac{11}{12}}\)

\(\Rightarrow x=\frac{11}{6};y=\frac{11}{4};z=11\)