bạn sẽ có: 2x^2/(1-x^2) - y = 0 => -2x^2/(x^2 -1) = y => 2x^2/(x^2 - 1) = - y. hay 2 + 2/(x^2 - 1) = -y(1). chứng minh tương tự bạn sẽ có 2y^2/(1-y^2)-z = 0 + => 2 + 2/(y^2-1) = -z(2) và 2z^2/(1-z^2) - x = 0 => 2 + 2/(z^2 -1) = - x(3).bạn đặt x^2 - 1 = a. y^2 - 1 = b. z^2 - 1 = c. => thế vào (1) (2) (3) bạn sẽ có:

2 + 2/b = -căn(c + 1)

2 + 2/a = - căn(b + 1)

2 + 2/c = - căn(a +1)

đặt căn (c+1) = m. căn (b +1) = n. căn (a + 1) = p thay vào hpt sẽ có:

2 + 2/b = -m

2 + 2/a = -n

2 +2/c = -p

giải hệ phương trình này ra bạn sẽ ra được a, b , c và từ đó bạn sẽ tìm ra được x ,y,z còn lại bạn tự làm nốt nhé. Tớ lười tính quá :|

Ta có \(p=x^2+y^2\ge\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2}=2\). Ta đi tìm GTNN của \(B=p+\dfrac{1}{p}\).

Do \(B=\dfrac{p}{4}+\dfrac{1}{p}+\dfrac{3p}{4}\) \(\ge2\sqrt{\dfrac{p}{4}.\dfrac{1}{p}}+\dfrac{3.2}{4}\) \(=\dfrac{5}{2}\). ĐTXR \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=y\\p=2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow x=y=1\).

Vậy GTNN của B là \(\dfrac{5}{2}\) khi \(x=y=1\)

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2

=>2(xy+yz+xz)=0

=>xy+xz+yz=0

=>xy/xyz+xz/xyz+yz/xyz=0

=>1/x+1/y+1/z=0

Bạn nên viết lại đề bằng công thức toán (biểu tượng $\sum$ góc trái khung soạn thảo) để mọi người hiểu đề của bạn hơn nhé.

a. Đề bài em ghi sai thì phải

Vì:

\(x+y=2\left(\sqrt{x-3}+\sqrt{y-3}\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3-2\sqrt{x-3}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}+1\right)+4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-3}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-1\right)^2+4=0\) (vô lý)

b.

Xét hàm \(f\left(x\right)=x^3+ax^2+bx+c\)

Hàm đã cho là hàm đa thức nên liên tục trên mọi khoảng trên R

Hàm bậc 3 nên có tối đa 3 nghiệm

\(f\left(-2\right)=-8+4a-2b+c>0\)

\(f\left(2\right)=8+4a+2b+c< 0\)

\(\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(2\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc (-2;2)

\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=x^3\left(1+\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^2}+\dfrac{c}{x^3}\right)=+\infty.\left(1+0+0+0\right)=+\infty\)

\(\Rightarrow\) Luôn tồn tại 1 số thực dương n đủ lớn sao cho \(f\left(n\right)>0\)

\(\Rightarrow f\left(2\right).f\left(n\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(2;n\right)\) hay \(\left(2;+\infty\right)\)

Tương tự \(\lim\limits_{x\rightarrow-\infty}f\left(x\right)=-\infty\Rightarrow f\left(-2\right).f\left(m\right)< 0\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn  có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(-\infty;-2\right)\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)\) có đúng 3 nghiệm pb \(\Rightarrow\) hàm cắt Ox tại 3 điểm pb

\(x+y+z=xyz\Leftrightarrow\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{yz}+\dfrac{1}{zx}=1\)

Đặt \(\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow ab+bc+ca=1\)

\(Q=\dfrac{b^2}{a}+\dfrac{c^2}{b}+\dfrac{a^2}{c}+2\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

\(Q\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}+2\left(ab+bc+ca\right)=a+b+c+2\)

\(Q\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}+2=2+\sqrt{3}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) hay \(x=y=z=\sqrt{3}\)

`P=1/(x^2+y^2)+1/(xy)+4xy`

`=1/(x^2+y^2)+1/(2xy)+4xy+1/(4xy)+1/(4xy)`

Áp dụng bunhia dạng phân thức

`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4/(x+y)^2`

Mà `(x+y)^2<=1`

`=>1/(x^2+y^2)+1/(2xy)>=4`

Áp dụng cosi:

`4xy+1/(4xy)>=2`

`4xy<=(x+y)^2<=1`

`=>1/(4xy)>=1`

`=>P>=4+2+1=7`

Dấu "=" `<=>x=y=1/2`

\(x^2+y^2\le x+y\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\le\dfrac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\left[1\cdot\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+3\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]\le10\left[\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2\right]\le5\)

\(\Leftrightarrow\left(x+3y-2\right)^2\le5\\ \Leftrightarrow x+3y-2\le\sqrt{5}\\ \Leftrightarrow x+3y\le2+\sqrt{5}\)

Dấu \("="\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{5+\sqrt{5}}{10}\\y=\dfrac{5+3\sqrt{5}}{10}\end{matrix}\right.\)