Ta có

\(\frac{xy+1}{y}=\frac{yz+1}{z}=>x+\frac{1}{y}=y+\frac{1}{z}=>x-y=\frac{1}{z}-\frac{1}{y}=\frac{y-z}{yz}\left(1\right)\)

\(\frac{yz+1}{z}=\frac{zx+1}{x}=>y+\frac{1}{z}=z+\frac{1}{x}=>y-z=\frac{1}{x}-\frac{1}{z}=\frac{z-x}{xz}\left(2\right)\)

\(\frac{zx+1}{x}=\frac{xy+1}{y}=>z+\frac{1}{x}=x+\frac{1}{y}=>z-x=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{x-y}{xy}\left(3\right)\)

Nhân từng vế (1),(2),(3) ta có:

\(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\frac{\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x-y\right)}{x^2y^2z^2}\)

<=>\(x^2y^2z^2\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)=\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\)  

<=>\(\left(x-y\right)\left(y-z\right)\left(z-x\right)\left(x^2y^2z^2-1\right)=0\)

=> (x-y)(y-z)(z-x)=0 hoặc x²y²z²-1=0

• (x-y)(y-z)(z-x)=0 => x=y=z

• x²y²z²-1=0 => x²y²z²=1

Vậy x=y=z hoặc x²y²z²=1

Cái này là BĐT Bunhiacopxki đó bạn

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2\ge a^2x^2+b^2y^2+2axby\)

\(\Leftrightarrow b^2x^2+a^2y^2\ge2axby\)

\(\Leftrightarrow\left(bx-ay\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )

\(\Rightarrowđpcm\)

\(\left(a^2+b^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(ax+by\right)^2\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2\ge a^2x^2+b^2y^2+2axby\)

\(\Leftrightarrow a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2-a^2x^2-b^2y^2-2axby\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2y^2+b^2y^2-2axby\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2\ge0\) ( bất đẳng thức luôn đúng )

Vậy ................

a)

<=>\(4x^2+4xy+y^2< 5x^2+5y^2\Leftrightarrow x^2+4y^2-4xy=\left(x-2y\right)^2>0\)

=> đề sai

b)

(x+1)[(x+1)-x) >0

(x+1)[(x+1)-x) >0 <=> x+1>0 => đề sai

c) (a-b)^2 <=a^2 +b^2

<=> a^2 -2ab +b^2 <=a^2 +b^2 <=> -2ab<=0 => đề sai

Từ giả thiết : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Rightarrow xy+yz+zx=xyz\)

Ta có : \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\)

Vì hai vế luôn dương nên ta bình phương hai vế được : 

\(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\ge\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

Xét \(\left(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\right)^2\)

\(=\left(x+y+z\right)+\left(xy+yz+zx\right)+2\left(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\right)\)

Xét \(\left(\sqrt{xyz}+\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\right)^2\)

\(=xyz+\left(x+y+z\right)+2\left(x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\right)\)

Suy ra : \(\sqrt{x+yz}.\sqrt{y+zx}+\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}+\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\)

\(\ge x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\) (*)

Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : 

\(\sqrt{\left(x+yz\right)}.\sqrt{y+zx}\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz.zx}=\sqrt{xy}+z\sqrt{xy}\) (1)

\(\sqrt{y+zx}.\sqrt{z+xy}\ge\sqrt{yz}+x\sqrt{yz}\)(2)

\(\sqrt{z+xy}.\sqrt{x+yz}\ge\sqrt{xz}+y\sqrt{xz}\)(3)

Cộng (1) , (2) và (3) theo vế ta được (*) đúng

Vậy bđt ban đầu được chứng minh.

chịu thua

a)\(\left|x+y\right|\le\left|x\right|+\left|y\right|\left(1\right)\)

Bình phương 2 vế của (1) ta được:

\(\left(\left|x+y\right|\right)^2\le\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\le x^2+2\left|xy\right|+y^2\)

\(\Leftrightarrow xy\le\left|xy\right|\) (Đpcm)

Dấu = khi \(xy\ge0\)

b)\(\left|x-y\right|\ge\left|x\right|-\left|y\right|\)

\(\Rightarrow\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x\right|\)

Áp dụng câu a ta có:

\(\Rightarrow\left|x-y\right|+\left|y\right|\ge\left|x-y+y\right|=\left|x\right|\) (luôn đúng)

Suy ra đpcm