Cho a,b,c khác 0 thoả mãn các điều kiện:\(x+y+z=2014\)
và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2014}\). Chứng minh trong 3 số x, y , z tồn tại 2 số đối nhau.
Những câu hỏi liên quan
Cho 3 số x,y,z (x #0, y#0, z#0, x+y+z # 0 ) thỏa mãn điều kiện :
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\). Chứng minh trong ba số luôn tồn tại một cặp số đối nhau.
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\Leftrightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z\left(x+y+z\right)}=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=0\) hoặc \(y+z=0\) hoặc \(z+x=0\)
=> ...............................................
Đúng 0
Bình luận (0)
12 tháng 6 2020 lúc 9:11
( chuyên sư phạm, 2014 )
1. Cho a, b, c, x, y, z là các số thực khác 0 thỏa mãn các điều kiện:
\(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}=0;\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\)
Chứng minh:
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\)
Ta có: \(\frac{a}{x}+\frac{b}{y}+\frac{c}{z}\Rightarrow ayz+bxz+cxy=0\)
\(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\) (\(a;b;c\ne0\) )
\(\Rightarrow\left(\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}\right)^2=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+\frac{2xy}{ab}+\frac{2yz}{bc}+\frac{2xz}{ac}=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}+2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1\)
\(\Rightarrow\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1-2\left(\frac{xy}{ab}+\frac{yz}{bc}+\frac{zx}{ca}\right)=1-2\left(\frac{ayz+bxz+cxy}{abc}\right)=1-2.0=1\)
=> đpcm
á em đổi biến lộn ạ. Em định viết H;U;Y cho đúng tên mình mà quen tay lộn vào Y;Z ạ
Đặt \(\left(\frac{x}{a};\frac{y}{b};\frac{z}{c}\right)\rightarrow\left(H;U;Y\right)\)
Khi đó ta có:
\(H+U+Y=1;\frac{1}{H}+\frac{1}{U}+\frac{1}{Y}=0\Rightarrow HU+UY+YH=0\)
Thay vào thì :
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=\left(H+U+Y\right)^2-2\left(HU+UY+YH\right)=1\)
Vậy ta có đpcm
cho 3 số x, y, z khác 0 thõa mãn\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2015\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x, y, z tồn tại 2 số đối nhau
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2015}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}\) (do x+y+z = 2015)
\(\Rightarrow\)\(\frac{xy+yz+xz}{xyz}=\frac{1}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)=xyz\)
\(\Rightarrow\)\(\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)-xyz=0\)
\(\Rightarrow\)\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(x+z\right)=0\)
đến đây tự lm nốt nha
Đúng 0
Bình luận (0)
Giải hộ mình mấy bài này với:
1)cho số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=1. Chứng minh rằng :
\(\sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}\le\frac{3}{2}\)
2)Cho 3 số x,y,z khác không thỏa mãn:\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2010\end{cases}}\)
Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số đối nhau.
cho ba số x,y,z khác 0 thỏa mãn x+y+x =2010 ;\(\frac{1}{x}\)+\(\frac{1}{y}\)+\(\frac{1}{z}\)=\(\frac{1}{2010}\)
chứng minh rằng trong 3 số x,y,x luôn tồn tại hai số đối nhau
Hd lấy hai cái nhân với nhau VP=1 ; VT=bt rút gọn=>đpcm
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số x, y, z khác 0 thoả mãn điều kiện: \(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)
Hãy tính giá trị biểu thức: \(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)\)
áp dụng tc của dãy tỉ số = nhau :
\(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}=\frac{y+z-x+z+x-y+x+y-z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}y+z-x=x\\z+x-y=y\\x+y-z=z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y+z=2x\\z+x=2y\\x+y=2z\end{cases}}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}z-x=2x-2z\\y-x=2x-2y\\z-y=2y-z\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3x=3z\\3x=3y\\3y=3z\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z}\)
thay vào B ta đc : \(B=\left(1+\frac{x}{x}\right)\left(1+\frac{y}{y}\right)\left(1+\frac{z}{z}\right)=8\)
Ta có : \(\frac{y+z-x}{x}=\frac{z+x-y}{y}=\frac{x+y-z}{z}\)
=> \(\frac{y+z-x}{x}+2=\frac{z+x-y}{y}+2=\frac{x+y-z}{z}+2\)
=> \(\frac{x+y+z}{x}=\frac{x+y+z}{y}=\frac{x+y+z}{z}\)
Khi x + y + z = 0
=> x + y = -z ; y + z = -x ; z + x = -y
Khi đó \(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\frac{x+y}{y}.\frac{y+z}{z}.\frac{z+x}{x}=\frac{-z.\left(-x\right).\left(-y\right)}{y.z.x}=-1\)
Khi x + y + z \(\ne\)0
=> x = y = z
Khi đó \(B=\left(1+\frac{x}{y}\right)\left(1+\frac{y}{z}\right)\left(1+\frac{z}{x}\right)=\left(1+1\right)\left(1+1\right)\left(1+1\right)=8\)
a,cho các số x,y,z khác 0 thoả mãn
\(x-2y+\frac{z}{y}=z-2x+\frac{y}{x}=x-2z-\frac{y}{z}\).Tính giá trị biểu thức A=\(\left(1+\frac{y}{x}\right)\times\left(1+\frac{y}{x}\right)=\left(1+\frac{x}{z}\right)+2020\)
b, tìm các số tự nhiên x,y thoả mãn xy+4x=35+5y
c, tìm các số tự nhiên x,y thoả mãn 2^/x/+y^2+y=2x+1
Cho các số thực x,y,z khác 0, đôi một khác nhau và thỏa điều kiện
\(x^2-xy=y^2-yz=z^2-zx=a\left(a\inℝ\right)\)
a) Chứng minh rằng \(a\ne0\), từ đó suy ra \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
b) Chứng minh rằng \(\frac{x}{z}+\frac{z}{y}+\frac{y}{x}=-3\)
Cho x, y là các số thực dương, z là số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\). Chứng minh \(\sqrt{x+y}=\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\)
Ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow\)\(x+y=x+y-2z+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)
Theo giả thiết, ta có:
theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=\frac{1}{y}\)\(\Rightarrow\frac{x-z}{zx}=\frac{1}{y}\Rightarrow x-z=\frac{zx}{y}\)
Tương tự, ta có: \(y-z=\frac{zy}{x}\)
Do đó: \(2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=2\sqrt{\frac{zx}{y}.\frac{zy}{x}}=2z\) (1)
ta có: \(\left(\sqrt{x+y}\right)^2=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2z=2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\)(2)
Thay (2) vào (1) ta thấy (2) luôn đúng
Suy ra ĐPCM
Vì \(x>0,y>0\Rightarrow\frac{1}{x}>0;\frac{1}{y}>0\)
mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Rightarrow\frac{1}{z}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\Rightarrow\frac{1}{z}>0\Rightarrow z>0\)
Ta có: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0\Leftrightarrow yz+zx-xy=0\)
\(\Leftrightarrow-z^2=-z^2+yz+zx-xy=-\left(x-z\right)\left(y-z\right)\)
\(\Leftrightarrow z^2=\left(x-z\right)\left(y-z\right)>0\)
\(\Rightarrow z=\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}\left(z>0\right)\)
Lại có: \(x+y=x-z+y-z+2z\)
\(=\left(x-z\right)+\left(y-z\right)+2\sqrt{\left(x-z\right)\left(y-z\right)}=\left(\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\right)^2\)
Suy ra \(\sqrt{x+y}=\sqrt{x-z}+\sqrt{y-z}\) (ĐPCM)