Question

Cho a,b,c khác 0 thoả mãn các điều kiện:\(x+y+z=2014\)

và \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2014}\). Chứng minh trong 3 số x, y , z tồn tại 2 số đối nhau.

Answer 1

Lời giải:

$x+y+z=2014; \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2014}$

$\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}$

$\Rightarrow (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z})=0$

$\Rightarrow \frac{x+y}{xy}+\frac{x+y}{z(x+y+z)}=0$

$\Rightarrow (x+y)[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z(x+y+z)}]=0$

$\Rightarrow (x+y).\frac{z(x+y+z)+xy}{xyz(x+y+z)}=0$

$\Rightarrow (x+y).\frac{(z+x)(z+y)}{xyz(x+y+z)}=0$

$\Rightarrow (x+y)(z+x)(z+y)=0$

$\Rightarrow x+y=0$ hoặc $x+z=0$ hoặc $z+y=0$

$\Rightarrow x=-y$ hoặc $y=-z$ hoặc $z=-x$

Vậy trong 3 số $x,y,z$ tồn tại hai số đối nhau.