Với a,b,c \(\ge\) 0, ta có:

\(BĐT\Leftrightarrow\frac{2}{a}+\frac{2}{b}+\frac{2}{c}-\frac{2}{\sqrt{ab}}-\frac{2}{\sqrt{bc}}-\frac{2}{\sqrt{ca}}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{b}}-\frac{1}{\sqrt{c}}\right)^2+\left(\frac{1}{\sqrt{c}}-\frac{1}{\sqrt{a}}\right)^2\ge0\)(đúng)

a.\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}>\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)}{n+1-n}=2\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)\)

áp dụng công thức cho biểu thức A có A>\(2\left(-\sqrt{2}+\sqrt{26}\right)>7\left(1\right)\)

(so sánh bình phương 2 số sẽ ra nha)

\(\frac{1}{\sqrt{n}}=\frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}< \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}=\frac{2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)}{n-n+1}=2\left(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}\right)\)

áp dụng công thức cho biểu thức A ta CM được

A<\(2\left(\sqrt{2}-\sqrt{2-1}+\sqrt{3}-\sqrt{3-1}+...+\sqrt{25}-\sqrt{25-1}\right)\)

=\(2\left(-\sqrt{1}+\sqrt{25}\right)=2\left(-1+5\right)=2\cdot4=8\left(2\right)\)

từ (1) và (2) => ĐPCM

b. tương tự câu a ta CM đc BT đã cho=B>\(2\sqrt{51}-2\)> \(5\sqrt{2}\left(1\right)\)

và B<\(2\sqrt{50}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2\cdot50}=10\sqrt{2}\left(2\right)\)

từ (1) và (2)=>ĐPCM

(bạn nhớ phải biến đổi 1 thành 1/\(\sqrt{1}\) trc khi áp dụng công thức nha)

MỜI BẠN THAM KHẢO

Nếu a,b,c dương thì bất đẳng thức trên sai

Sai đề thì phải , coi lại giùm mình nhé :

Đặt \(\sqrt[3]{a}=x;\)\(\sqrt[3]{b}=y;\)\(\sqrt[3]{c}=z\)\(\left(a,b,c>0\right)\)

Ta cần chứng minh \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{9}{x+y+z}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge9\)

Ta có : \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\sqrt[3]{3.\frac{1}{xyz}}\)

Và \(x+y+z\ge\sqrt[3]{3xyz}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\left(x+y+z\right)\ge\sqrt[3]{3.\frac{1}{abc}}.\sqrt[3]{3abc}=9\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{9}{x+y+z}\)

Vậy \(\frac{1}{\sqrt[3]{a}}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}}\ge\frac{9}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}\)\(\left(đpcm\right)\)

Đề a kh sai nó có trong câu 5 bài này: https://doctailieu.com/de-thi-vao-lop-10-mon-toan-ha-nam-2019-co-dap-an.

Mà e chứng minh vậy sai rồi nhé ở chỗ 2 bđt chỗ ta có ấy 

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:

\(\dfrac{a}{\sqrt{a^2+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)

\(\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{a}{a+c}\right)\). Thiếp lập 2 BĐT còn lại:

\(\dfrac{b}{\sqrt{b^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{b}{a+b}\right);\dfrac{c}{\sqrt{c^2+1}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{c}{c+a}+\dfrac{c}{b+c}\right)\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(A\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b}{a+b}+\dfrac{b+c}{b+c}+\dfrac{c+a}{c+a}\right)=\dfrac{1}{2}\cdot3=\dfrac{3}{2}\)

Xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)

1) c/m \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}\)

áp dụng BĐT cô shi cho 2 số thực dương ta có:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\);\(b+c\ge2\sqrt{bc}\);\(a+c\ge2\sqrt{ac}\)

cộng vế vs vế:\(2\left(a+b+c\right)\ge2\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\right)\)

↔\(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}\)

dấu = xảy ra khi a=b=c

vậy...

b)ta có:

\(\frac{1}{\sqrt{1}}>\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>...>\frac{1}{\sqrt{25}}\)→\(A>\frac{1}{\sqrt{25}}+\frac{1}{\sqrt{25}}+...+\frac{1}{\sqrt{25}}\)(25 số hạng)

\(A>\frac{25}{\sqrt{25}}=\sqrt{25}=5\)

vậy.....