Giải:

Gọi  ƯCLN (2n+3;3n+5)=d

Ta có:

2n+3:d =>3. (2n+3):d

3n+5:d=> 2. (3n+5):d

=> [3. (2n+3) - 2.(3n+5)]:d

=>(6n+9 - 6n-10): d

=> -1:d

=> d={1,-1}

Tick mình nha

Bài 1 : Đặt \(d=Ư\left(n+1;2n+3\right)\)

Từ đó \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2n+2⋮d\\2n+3⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}}2n+3-\left(2n+2\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1\)

Vậy mọi phân số dạng \(\frac{n+1}{2n+3}\left(n\inℕ\right)\) đều là phân số tối giản

Bài 2 : Đặt \(d=Ư\left(2n+3;3n+5\right)\)

Từ đó \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{cases}\Leftrightarrow}6n+10-\left(6n-9\right)⋮d\Leftrightarrow1⋮d\Leftrightarrow d=1}\)

Vậy mọi phân số dạng \(\frac{2n+3}{3n+5}\left(n\inℕ\right)\) đều là phân số tối giản.

Gọi ƯCLN(n + 1 ; n + 2) = d\(\left(d\inℕ\right)\)

=> \(\hept{\begin{cases}n+1⋮d\\n+2⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(n+2\right)-\left(n+1\right)⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> n + 1 ; n + 2 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{n+1}{n+2}\) là phân số tối giản

b) Gọi ƯCLN(2n + 3 ; 3n + 5) = d (d \(\inℕ\))

=> \(\hept{\begin{cases}2n+3⋮d\\3n+5⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}3\left(2n+3\right)⋮d\\2\left(3n+5\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}6n+9⋮d\\6n+10⋮d\end{cases}}\Rightarrow\left(6n+10\right)-\left(6n+9\right)⋮d\)

=> \(1⋮d\Rightarrow d=1\)

=> 2n + 3 ; 3n + 5 là 2 số nguyên tố cùng nhau

=> \(\frac{2n+3}{3n+5}\) là phân số tối giản

a) Gọi ƯC( n + 1 ; n + 2 ) = d

=> n + 2 ⋮ d và n + 1⋮ d

=> n + 2 - ( n - 1 ) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

=> ƯCLN( n + 1 ; n + 2 ) = 1

hay n+1/n+2 tối giản ( đpcm )

b) Gọi ƯC( 2n + 3 ; 3n + 5 ) = d

=> 2n + 3 ⋮ d và 3n + 5 ⋮ d

=> 6n + 9 ⋮ d và 6n + 10 ⋮ d

=> 6n + 10 - ( 6n + 9 ) ⋮ d

=> 1 ⋮ d => d = 1

=> ƯCLN( 2n + 3 ; 3n + 5 ) = 1

hay 2n+3/3n+5 tối giản ( đpcm )

Lời giải:
Gọi $d=ƯCLN(2n+3, 3n+5)$

$\Rightarrow 2n+3\vdots d; 3n+5\vdots d$

$\Rightarrow 2(3n+5)-3(2n+3)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

$\Rightarrow ƯCLN(2n+3, 3n+5)=1$

Do đó $\frac{2n+3}{3n+5}$ là phân số tối giản vơ mọi $n\in\mathbb{N}$

Đặt \(n+1;2n+3=d\)

\(n+1⋮d\Rightarrow2n+2\)(1)

\(2n+3⋮d\)(2)

Lấy 2 - 1 ta có : 

\(2n+3-2n-2⋮d\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\)

Vậy ta có đpcm

Bạn ơi có sai đề không?Bởi nếu n là số lẻ thì cả n+1 và n+3 đều là số chẵn ,đều chia hết cho 2 và có thể rút gọn mà,sao là phân số tối giản được

kin

kb nha

chưng minh tử và mẫu là nguyên tố cùng nhau

a) \(\frac{n+1}{3n+2}\)

     Gọi d là ƯCLN của \(n+1;3n+2\)

\(\Rightarrow n+1⋮d;3n+2⋮d\)\(\Rightarrow3n+3⋮d;3n+2⋮d\)

\(\Rightarrow\left(3n+3\right)-\left(3n+2\right)⋮d\Rightarrow3n+3-3n-2⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)\(\Rightarrow d=1\)

     Vậy \(ƯCLN\left(n+1,3n+2\right)=1\Leftrightarrow\)\(\frac{n+1}{3n+2}\)là phân số tối giản.

b)c) Làm tương tự.