Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho 3 số dương a, b, c

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)    ;  \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);   \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu " = " xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

Vì a,b,c là độ dài 2 cạnh của tam giác .Áp dụng BĐT Cô si ta có:

a+b>=2x căn(ab)

b+c>= 2x căn(bc)

c+a>= 2x căn(ac)

Nhân vế theo vế ta được (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc

Dấu = xảy ra <=> a=b;b=c;c=a => a=b=c => tam giác đó là tam giác đều

a;b;c là 3 cạnh của tam giác => a; b; c dương

Với a; b dương ta có:  \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) => a + b \(\ge\) 2. \(\sqrt{ab}\)

Tương tự, b + c \(\ge\) 2.\(\sqrt{bc}\); c + a \(\ge\)2. \(\sqrt{ca}\)

=> (a + b).(b+c).(c+a) \(\ge\)8. \(\sqrt{ab}\).\(\sqrt{bc}\).\(\sqrt{ca}\) = 8.abc 

Dấu = xảy ra khi a = b = c

=> tam giác có 3 cạnh là a; b; c là tam giác đều

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

Tương tự: \(b+c\ge2\sqrt{bc}\) ; \(c+a\ge2\sqrt{ca}\)

Nhân vế với vế:

\(\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\) hay tam giác đã cho là tam giác đều

Áp dụng bất đăng thức Cô-si cho 3 số dương a,b,c:

\(a+b\ge2\sqrt{ab}\);    \(b+c\ge2\sqrt{bc}\);  \(c+a\ge\sqrt{ca}\)

Nhân các vế của BĐT \(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge8abc\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c => tam giác đó đều

a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac

=>2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac

<=>2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0

<=>(a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ac+a^2)=0

<=>(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

=>a-b=b-c=c-a=0

=>a=b;b=c;c=a

=>a=b=c

=>tam giác abc là tam giác đều

\(\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)=8\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=8\)

Ta có (a +b)² >=4ab với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> a = b

(b+c)² >=4bc, với mọi b,c >0. Dấu = xảy ra <=> b = c

(c+a)² >=4ca, với mọi a,b>0. Dấu = xảy ra <=> c = a

=> (a+b)²(b+c)²(c+a)² >=64a²b²c² (a,b,c >0)

=> (a+b)(b+c)(c+a) >=8abc => (a+b)(b+c)(c+a)/abc >=8

Dấu = xảy ra <=> a = b = c <=> Tam giác đều