Gọi tứ giác là ABCD,O là giao điểm của 2 đường chéo

Xét t/g AOB có: OA+OB>AB

Xét t/g BOC có: OB+OC>BC

Xét t/g COD có: OC+OD>CD

Xét t/g AOD có: OA+OD>DA

Do đó: OA+OB+OB+OC+OC+OD+OD+OA>AB+BC+CD+DA

=>2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+DA

=>AC+BD > \(\frac{AB+BC+CD+DA}{2}\) (1)

Xét t/g ABC có: AB+BC > AC

Xét t/g BDC có: BC+DC > BD

Xét t/g CDA có: CD+AD > AC

Xét t/g DAB có: DA+AB > BD

Do đó AB+BC+BC+CD+CD+AD+DA+AB > AC+BD+AC+BD

=>2(AB+BC+CD+DA) > 2(AC+BD)

=>AB+BC+CD+DA > AC+BD (2)

Từ (1) và (2) => đpcm

Gọi O là giao điểm 2 dường chéo AC và BD của tứ giác ABCD. 
Áp dụng định lý " trong một tam giác một cạnh thì bé hơn tổng 2 cạnh kia" ta có: 
AB < OA + OB (1) 
BC < OB + OC (2) 
CD < OC + OD (3) 
DA < OD + OA (4) 
(1) + (2) + (3) + (4) : 
AB + BC + CD + DA < 2(OA + OC + OB + OD) = 2(AC + BD) 
hay (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD (*) 
Mặt khác : 
AC < AB + BC (1') 
BD < BC + CD (2') 
AC < CD + DA (3') 
BD < DA + AB (4') 
(1') + (2') + (3') + (4') : 
2(AC + BD) > 2(AB + BC + CD + DA) 
hay AC + BD < AB + BC + CD + DA (**) 
Từ (*) và (**) (1/2)(AB + BC + CD + DA) < AC + BD < AB + BC + CD + DA

Giả sử tứ giác ABCD có: AB=a,BC=b,CD=c,DA=d.

Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có:

AC+BD=AO+OB+OC+OD>AB+CD=a+c

Tương tự: AC+BD>b+d.

Suy ra: 2(AC+BD)>a+b+c+d⇒AC+BD=a+b+c+d2

Vậy tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi của tứ giác.

Theo bất đẳng thức tam giác ta có:

AC<a+b;AC<c+d

BD<b+c;BD<a+d

⇒2(AC+BD)<2(a+b+c+d).

⇒AC+BD<a+b+c+d.

Vậy tổng hai dường chéo nhỏ hơn chu vi tứ giác.

Áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác OAB, OBC, OCD, ODA ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}OA+OB>AB\\OB+OC>BC\\OC+OD>CD\\AO+OD>AD\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow OA+OB+OB+OC+OC+OD+OA+OD>AB+BC+CD+AD\)

\(\Rightarrow2\left(AC+BD\right)>\left(AB+BC+CD+DA\right)\)

\(\Rightarrow AC+BD>\dfrac{AB+BC+CD+DA}{2}\)

Tương tự, áp dụng BĐT tam giác cho các tam giác ABC,BCD, CDA, DAB ta có: \(AB+BC>AC;BC+CD>BD;CD+DA>AC;DA+AB>BD\)

Cộng vế với vế:

\(2\left(AB+BC+CD+DA\right)>2\left(AC+BD\right)\)

\(\Leftrightarrow AC+BD< AB+BC+CD+DA\)

cho tứ giác ABCD có hai góc đối bù nhau.Đường thẵng AD và BC cắt nhau tai E,hai đường thẵng AB và DC cắt nhau tại F.Kẻ phân giác của hai góc BFC và CEP cắt nhau tại M. CMR góc EMF =90 

Bài 1:

Xét tam giác ABD ta có:

\(AD< AB+DB\)(áp dụng bất đẳng thức tam giác)(1)

Xét tam giác BCD ta có:

\(DB< BC+DC\)(áp dụng bất đẳng thức tam giác)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(AD< AB+BC+DC\)

Vậy độ dài của bất kì cạnh nào cũng bé hơn tổng độ dài 3 cạnh còn lại(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!