Lời giải:

Tổng của $n$ số hạng trong dãy là cấp số nhân $(u_n)$ với công bội $q$ là:

$S_n=u_1+u_2+....+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+...+u_1q^{n-1}$

$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)$

$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q+q^2+q^3+...+q^n)-u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Ta có đpcm.

Với n = 1 thì \(x^1\ge2.x^0=0\)

Giả sử đẳng thức đúng với n = k nghĩa là : \(x^k\ge\left(k+1\right).x^{k-1}\).

Ta phải chứng minh :

\(x^n\ge\left(n+1\right).x^{n-1}\)đúng với n = k + 1. Ta phải chứng minh \(x^{k+1}\ge\left[\left(k+1\right)+1\right].x^{\left(k-1\right)+1}=\left(k+2\right).x^k\)

\(=\left(x^k.k+2x^k+1\right)-1=\left(x^k+1\right)^2-1\le x^{k+1}\)

Vậy đẳng thức luôn đúng với mọi \(n\inℕ^∗\)

Lời giải:
Xét csn $(u_n)$ với công bội $q$

Ta có:

$S_n=u_1+u_2+...+u_n=u_1+u_1q+u_1q^2+....+u_1q^{n-1}$

$=u_1(1+q+q^2+....+q^{n-1})$

$qS_n=u_1(q+q^2+q^3+....+q^n)$

$\Rightarrow qS_n-S_n=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n(q-1)=u_1(q^n-1)$

$\Rightarrow S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Ta có đpcm.

Kí hiệu đăng thức cần chứng minh là (*)

+) Với n = 1 thì 1 = \(\frac{1.\left(1+1\right)}{2}\) => (*) đúng

+) Giả sử (*) đúng với n = k , tức là: 1 + 2 + 3 + ....+ k = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\)

Ta chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, tức là: 1 + 2 + 3+ ...+ k + (k+1) = \(\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)

Thật vậy, 1 + 2 + 3 + ....+ k + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)}{2}\) + (k+1) = \(\frac{k\left(k+1\right)+2\left(k+1\right)}{2}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}{2}\)

=> (*) đúng với n = k+ 1

Vậy.....

1 + 2 + 3 + ... + n = (n + 1) + (n - 1 + 2) + ... (n:2 cặp)

= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + ... + (n + 1) (n:2 cặp)

= (n + 1).n : 2 (đpcm)

*Xét n=2=>\(1+...+n=1+2=3=\frac{6}{2}=\frac{2.3}{2}=\frac{2.\left(2+1\right)}{2}=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

*Xét n=3=>\(1+...+n=1+2+3=6=\frac{12}{2}=\frac{3.4}{2}=\frac{3.\left(3+1\right)}{2}=\frac{n.\left(n+1\right)}{2}\)

Giả sử mệnh đề luôn đúng với n=k, ta cần chứng minh mệnh đề luôn đúng với n=k+1

Ta có: \(1+...+n=1+...+k=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+k+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}+\left(k+1\right)\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)}{2}+\frac{2.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{k.\left(k+1\right)+2.\left(k+1\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(k+2\right)}{2}\)

=>\(1+...+\left(k+1\right)=\frac{\left(k+1\right).\left(\left(k+1\right)+1\right)}{2}\)

=>Thoả mãn

=>Phép quy nạp đã được chứng minh

=>ĐPCM

Giải casio được không?/

a) Năm số hạng đầu của dãy số là -1, 2, 5, 8, 11.

b) Chứng minh u_n = 3n - 4 bằng phương pháp quy nạp:

Với n =1 thì u₁ 3.1 - 4 = -1, đúng.

Giả sử hệ thức đúng với n = k ≥ 1, tức là u_k = 3k -4. Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với n = k + 1.

Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có:

u_k+1 = u_k + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4.

Vậy hệ thức đúng với mọi n ε N^*

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u₁ = 3 = √9 = √(1 + 8)

u₂ = √10 = √(2 + 8)

u₃ = √11 = √(3 + 8)

u₄ = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán u_n = √(n + 8), với n ε N^{* (1)}

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có u_k = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

u_k+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.

a) Năm số hạng đầu của dãy số là 3, √10, √11, √12, √13.

b) Ta có: u₁ = 3 = √9 = √(1 + 8)

u₂ = √10 = √(2 + 8)

u₃ = √11 = √(3 + 8)

u₄ = √12 = √(4 + 8)

...........

Từ trên ta dự đoán u_n = √(n + 8), với n ε N^{* (1)}

Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:

- Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng.

- Giả sử (1) đúng với n = k ≥ 1, tức là có u_k = √(k + 8) với k ≥ 1.

Theo công thức dãy số, ta có:

u_k+1 = .

Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1.