\(a_n=1+2+3+...+n=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow a_{n+1}=1+2+3+...+n+\left(n+1\right)=\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(\Rightarrow a_n+a_{n+1}=\dfrac{n\left(n+1\right)}{2}+\dfrac{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{2}\)

\(=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.\left(n+n+2\right)=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.\left(2n+2\right)\)

\(=\dfrac{\left(n+1\right)}{2}.2\left(n+1\right)=\left(n+1\right)^2\)

\(\Rightarrow dpcm\)

ko bt

Với \(n=6k+1\Rightarrow a_n=10^{6k+1}+3\)

Ta có: \(10^6\equiv1\left(mod13\right)\Rightarrow10^{6k}\equiv1\left(mod13\right)\Rightarrow10^{6k+1}\equiv10\left(mod13\right)\)

\(\Rightarrow10^{6k+1}+3⋮13\) với mọi \(k\in N\)

\(\Rightarrow\) Dãy đã cho có vô số hợp số

n = 6k + 4   

Chúc bạn học tốt!!

n = 6k + 4   

Lời giải:

Ta có công thức quen thuộc:

\(a_n=1+2+3+..+n=\frac{n(n+1)}{2}\)

\(a_{n+1}=1+2+3+...+n+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\)

Do đó:

\(a_n+a_{n+1}=\frac{n(n+1)}{2}+\frac{(n+1)(n+2)}{2}=\frac{(n+1)(n+n+2)}{2}=(n+1)(n+1)=(n+1)^2\) là số chính phương với mọi số tự nhiên $n\geq 1$

Vậy $a_n+a_{n+1}$ là số chính phương.

\(S-P=a_1^3-a_1+a_2^3-a_2+...+a_n^3-a_n\)

\(=a_1\left(a_1-1\right)\left(a_1+1\right)+a_2\left(a_2-1\right)\left(a_2+1\right)+...+a_n\left(a_n-1\right)\left(a_n+1\right)\)

Do \(a_k\left(a_k-1\right)\left(a_k+1\right)\) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên luôn chia hết cho 6

\(\Rightarrow S-P⋮6\)

Mà \(P⋮6\Rightarrow S⋮6\)