Tam giác ABC, trực tâm H. Chu vi của tam giác ABC bằng 60cm. Gọi M, N, Q lần lượt là 3 điểm trên HA, HB, HC sao cho
AM = 3MH, BN = 3NH, CQ = 3QH.
Tính chu vi của tam giác MNQ
\(\frac{MN}{AB}=\frac{HM}{HA}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{NQ}{BC}=\frac{HN}{NB}=\frac{1}{4}\)
\(\frac{QM}{AC}=\frac{HQ}{HC}=\frac{1}{4}\)
(MN+NQ+QM)=(AB+BC+AC)/4=\(\frac{60}{4}\)=15

a) Qua H kẻ HG//AB  cắt AC tại G; kẻ HI//AC cắt AB tại I như hình vẽ.

=> HI vuông BH ; CH vuông HG

và AIHG là hình bình hành

Xét tam giác BHI vuông tại H => BH<BI ( mối quan hệ cạnh góc vuông và cạnh huyền) (1)

Xét tam giác CHG vuông tại H => CH<CG  

=> CH+BH + AH< BI+CG +AH 

Ta lại có AH <AI+IH (  bất đẳng thức trong tam giác AIH)

mà IH=AG ( AIHG là hình bình hành theo cách vẽ )

=> AH < AI+AG 

Vậy CH+BH+AH<BI+CG+AI+AG=AB+AC

b) Chứng minh AB+AC+BC>3/2 (HA+HB+HC) 

Chứng minh tương tự như câu a.

Ta có: \(AB+AC>HA+HB+HC\)

\(BC+AC>HA+HB+HC\)

\(AB+BC>HA+HB+HC\)

Cộng theo vế ta có:

\(2AB+2AC+2BC>3HA+3HB+3HC\)

=> \(2\left(AB+AC+BC\right)>3\left(HA+HB+HC\right)\)

=> \(AB+AC+BC>\frac{3}{2}\left(HA+HB+HC\right)\)

M; N; Q lần lượt là trung điểm của AB; AC; BC (gt)

=> MN; NQ; MQ là đường trung bình của tam giác ABC (đn)

=> MN = 1/2BC ; NQ = 1/2AB; MQ = 1/2AC (đl)

=> MN + NQ + MQ = 1/2BC + 1/2AB + 1/2AC 

=> MN + NQ + MQ = 1/2(AB + AC + BC)

chu vi của tam giác ABC = 48 cm (gt) =>  AB + AC + BC = 48 

=> MN + NQ + MQ = 1/2*48 = 24

có NQ : MN : MQ = 9 : 8 : 7

=> NQ/9 = MN/8 = MQ/7

=> (NQ + MN + MQ)/(9 + 8 + 7) = NQ/9 = MN/8 = MQ/7 

=> 24/24 = NQ/9 = MN/8 = MQ/7

=> 1 = NQ/9 = MN/8 = MQ/7

=> NQ = 9; MN = 8; MQ = 7

từ đó tính ra các cạnh

Xét tam giác PAC,ta có:

{MP=MAOP=OC

=>MP = 1/2 AC

Tam giác PBC và AOB tương tự

=> Tam giác MNP đồng dạng với tam giác ABC

=> Chu vi tam giác MNP = 543/2 cm

xem trên mạng

hoi ong google

xét tam giác AEQ và tam giác BEC có

         EQ=EC

         AEQ=BEC đối đỉnh

         EA=EB

=> tam giác AEQ = tam giác BEC(c.g.g).

=> AQ=BC(cạnh tuognư ứng). (1)

Xét Tam giác AFP và tam giác CFB có

      AF=CF

     AFP=CFB đối đỉnh

     FB=FP

=>. tam giác AFB = tam giác CFB(c.g.c)

=> AP = BC (2)

từ (1) và (2) suy ra AP=AQ.

b) xét tam giác BEQ và tam giác AEC có

     EQ=EC

     BEQ=AEC đối đỉnh

     EB=EA

=> tam giác BEQ = tam giác AEC(c.g.c)

=> BQE=AEC(góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong nên BQ//AC.

xét tam giác PFC và BFA có:

FA=FC

AFB=CFP

BF=PF

=. tam giác PFC = BFA (c.g.c)

=> FAB = FCB(góc tương ứng)

mà chúng ở vị trí so le trong nên

CP//AB

cho tớ 1 tick nhé! ^^ cảm ơn

vì Tam gáic AEQ = BEC nên QAE=CBE, mà chugns ở vị trí so le trong nên AQ//BC.

=> QAB=CBA

xét tam giác ABQ và tam giác ABC có

     QAB=CAB

     AB chung

    CAB=QBA( AC//BQ)

vậy chúng bằng nhau(g.c.g)

AQB=ACB

mà AQB=CBR(đồng vị) từ hai điều này suy ra ACB=RBC

vì tam giác AFB=CFB nên A=C mà chúng ở vị trí so le trong nên AP//BC=>PAC=BCA

Xét tam giác ABC và PCA có

     BAC=PCA(AB//PC)

     AC chung

     PAC=BCA(cmt)

vậy chúng bằng nhau theo truognừ hợp g.c.g

=>ABC=CPA

mà CPA=RCP( đồng vị) từ hai điều này suy ra ABC=RCB.

Xét tam giác ABC và RCB có 

AQB=CBR

BC chung

CPA=RCP

vậy chúng bằng nhau theo truognừ hợp g.c.g

=> AB=RC;AC=RB(cạnh tuognư ứng)

* Vì AQ//BC,AP//BC, theo tiên đề Ơ-clit => ba điểm Q,A,P thẳng hàng

vì BC = AQ = AP nên BC = 1/2 QP

* Vì AC = BQ(cmt)

      AC=BR(cmt)

nên AC = 1/2 QR

vì theo đề cho ba điểm Q,B,R đã thằng hàng nên không cần chứng minh. ba điểm P,C,R cũng vậy.

* Vì AB=CP(cmt)

      AB=RC(cmt)

nên AB= 1/2 RP

ta có chu vi tam giác PQR = PQ + QR + RP =   \(\frac{1}{2}BC+\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\left(AB+AC+BC\right)=\frac{1}{2}\)chu vi ABC điều phải chứng minh.

d) Xét tam giác  PQR có BQ=BR(cùng bằng AC)

                        CR=CP(cùng bằng AB)

                      AQ=AP(cmt) và Q,A,P thẳng hàng 

suy ra B,C và A lần lượt là trung điểm của QR, RP và PQ.

gọi giao điểm của QC và BP là H

tam giác PQR có QC, PB và RA là các đuognừ trung tuyến giao nhau tại H nên H là trọng tâm. Xong

vậy 3 đường này đồng quy

Skura Công Chúa Hoa Anh Đào  Cái đoạn chứng minh ΔACB và ΔRCB thì trong hai tam giác này làm gì có góc AQB và CPR,CPA và RBC Làm j có 4 góc này đây bạn

a) xét tam giác AEQ và tam giác BEC có

         EQ=EC

         AEQ=BEC đối đỉnh

         EA=EB

=> tam giác AEQ = tam giác BEC(c.g.g).

=> AQ=BC(cạnh tuognư ứng). (1)

Xét Tam giác AFP và tam giác CFB có

      AF=CF

     AFP=CFB đối đỉnh

     FB=FP

=>. tam giác AFB = tam giác CFB(c.g.c)

=> AP = BC (2)

từ (1) và (2) suy ra AP=AQ.

b) xét tam giác BEQ và tam giác AEC có

     EQ=EC

     BEQ=AEC đối đỉnh

     EB=EA

=> tam giác BEQ = tam giác AEC(c.g.c)

=> BQE=AEC(góc tương ứng) mà chúng ở vị trí so le trong nên BQ//AC.

xét tam giác PFC và BFA có:

FA=FC

AFB=CFP

BF=PF

=. tam giác PFC = BFA (c.g.c)

=> FAB = FCB(góc tương ứng)

mà chúng ở vị trí so le trong nên

CP//AB

Có thể loại đường trung bình nữa à Tuân Huỳnh Ngọc Minh???!!!